Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 20.1.2017 (22:42)

  Zadanie 29.
  Widzę, że za późno, ale może się przyda, jak nie Tobie to komuś innemu.
  
  Obliczymy długości boków trójkąta i potem długości środkowych z tw. kosinusów.
  
  Zauważ, że fakt, że wysokość dzieli kat prosty w stosunku 2 : 1 oznacza,
  że dzieli go na kąty 60 i 30 stopni.
  Kąty ostre trójkąta mają więc także 30 i 60 stopni.
  
  Narysuj proszę taki trójkąt i oznacz przez A wierzchołek przy kącie 30 stopni,
  przez B wierzchołek przy kącie 60 stopni, a przez C wierzchołek przy kącie prostym.
  Dorysuj proszę wysokość opuszczoną z C na AB.
  Długość tej wysokości wynosi "h".
  
  Mamy następujące zależności:
  h / | AC | = sin 30 ; więc: | AC | = h / (sin 30) = h / (1/2) = 2 h
  h / | BC | = sin 60 ; więc | BC | = h / (cos 60) = h / [ pierw(3) / 2 ] czyli
  | BC | = (2/3) * pierw(3) * h
  
  Pole trójkąta to P = (1/2) | AC | * | BC | = (1/2) * 2h * (2/3) * pierw(3) * h ; czyli
  P = (2/3) * pierw(3) h^2 = 6 * pierw(3) ; [ pole jest dane w zadaniu ] więc:
  
  h^2 = 9 ; stąd: h = 3.
  
  Mamy długości boków:
  | AC | = 2 * 3 = 6
  | BC | = (2/3) * pierw(3) * 3 = 2 * pierw(3)
  | AB | = 2P / h = 2 * 6 * pierw(3) / 3 = 4 * pierw(3).
  
  Możemy liczyć długości środkowych.
  Oznacz przez D środek boku AC. Z tw. kosinusów kwadrat długości BD wynosi:
  
  | BD |^2 = | AB |^2 + | AD |^2 - 2 | AB | * | AD | * cos(30) ; podstawiamy dane
  | BD |^2 = [ 4 * pierw(3) ]|^2 + 3^2 - 2 * 4 * pierw(3) * 3 * pierw(3) / 2 = 21 ; czyli
  
  | BD | = pierwiastek(21)
  
  W sposób analogiczny liczymy (punkt E jest środkiem odcinka BC)
  | CE |^2 = | AB |^2 + | BE |^2 - 2 | AB | * | BE | * cos(60) ; podstawiamy dane, dostajemy
  | CE |^2 = 39 ; czyli
  
  | CE | = pierwiastek(39)
  ===========================================
  
  Prawdopodobnie istnieje jakaś inna metoda bez użycia tw. kosinusów.
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie