Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 6.1.2017 (02:17)

  Załóżmy, że Y jest zmienną objaśnianą, X - objaśniającą (tzn. zakładamy, że X nie ma błędów). Równanie regresji ma wtedy postać:
  
  Y = a X + b gdzie:
  
  a = kowariancja (X, Y) / wariancja (X) ; oraz : b = Y_średnia - a * X_średnia.
  
  Do współczynnika korelacji potrzebna jest jeszcze wariancja (Y).
  ------------------------------
  
  Kolejno liczymy:
  X_średnia = (0 + 1 + 2) / 3 = 1
  Y_srednia = (0 + 2 + C) / 3 = (2 + C) / 3
  
  wariancja (X) = [ X - X_średnia ]^2 _średnia = (1/3) * suma [ Xi - X_średnia)^2 ]
  wariancja (X) = (1/3) [ (0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 ] = 2 / 3
  
  wariancja (Y) = analogicznie = (1/3) * suma [ Yi - Y_średnia)^2 ]
  wariancja (Y) = (1/3) [ (0 - (2+C) / 3)^2 + (2 - (2+C) / 3)^2 + (C - (2+C) / 3)^2 ]
  po uproszczeniu:
  wariancja (Y) = (2 / 9) (C^2 - 2C + 4)
  
  Kowariancja (X, Y) = [ (X - X_średnia) * (Y - Y_średnia) ] _ średnia
  Kowariancja (X, Y) = [ (0 - 1) * (0 - Y_średnia) + 0 + (2 - 1) * (C - Y_średnia) ] / 3
  Po niemiłym liczeniu wychodzi prosto:
  Kowariancja (X, Y) = C / 3
  
  a = ( C/ 3 ) / (2 / 3) = C / 2
  
  b = (2 + C) / 3 - (C / 2) * 1 = (4 - C) / 6
  
  Równanie regresji: Y = (C / 2) X + (4 - C) / 6
  
  [ sprawdźmy wzór dla C = 4. Wychodzi: a = 2 ; b = 0 ; czyli Y = 2X.
  Faktycznie: Dla C = 4 punkty leżą na tej samej prostej ]
  --------------------
  
  Korelacja:
  
  Korelacja r = kowariancja (X, Y) / pierwiastek [ wariancja (X) * wariancja (Y)
  r = (C / 3) / pierwiastek [ (2 / 3) * (2 / 9) (C^2 - 2C + 4) ]
  r = (1/2) * [ pierwiastek(3) C ] / pierwiastek (C^2 - 2C + 4)
  
  Wyrażenie w mianowniku pod pierwiastkiem jest dodatnie dla wszystkich C
  więc dziedziną współczynnika korelacji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
  
  Wykres r(C) przypomina literę "S", granicami w nieskończoności są
  +/- pierwiastek(3) / 2 ; przy czym wykres ma maksimum r = 1 dla C = 4.
  Ale nas interesują liczby C < 0
  Liczymy pochodną r(C). Uwierz mi, że wychodzi:
  
  r ' (C) = [ pierwiastek(3) / 2 ] * (4 - C) / (C^2 - 2C + 4) ^ (3/2)
  
  Mianownik jest zawsze dodatni.
  Dla C < 0 licznik jest też dodatni, więc dla C < 0 funkcja r(C) jest stale rosnąca
  i rośnie od - pierwiastek(3) / 2 do zera.
  
  Dla C = 0 mamy r(C) = 0 i współczynnik korelacji jest największy [ = grak korelacji :) ]
  Jeśli jednak rozumiemy korelacje jako BEZWZGLĘDNĄ WARTOŚĆ | r |
  to zachodzi to dla C = - oo.
  Faktycznie - wtedy punkty (0;0) i (1;2) są bliskie w porównaniu z punktem (2;C)
  i prosta regresji staje się praktycznie pionowa.
  ==========================
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie