Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.5.2016 (01:10)

  Formalnie pochodną cząstkową F(x,y) po u, gdy x, y są funkcjami niezależnych zmiennych u, v oblicza się jak pochodną funkcji złożonej, czyli:
  
  \frac{\partial F}{\partial u}=\frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}
  
  Zobaczmy, ile to wychodzi:
  ===========================================
  
  a)
  \frac{\partial\ln(x^2+y^2)}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2}\qquad\mbox{oraz}\qquad\frac{\partial\ln(x^2+y^2)}{\partial y}=\frac{2y}{x^2+y^2}
  
  Następnie:
  
  \frac{\partial x}{\partial u}=v\qquad\mbox{oraz}\qquad\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{v}
  
  Podstawiamy x = uv oraz y=u/x do wzorów na pochodne F po x i po y, dostajemy na pochodną F po u, stosując wzór na samej górze, wyrażenie:
  
  \frac{\partial F}{\partial u}=\frac{2x}{x^2+y^2}\cdot v+\frac{2y}{x^2+y^2}\,\frac{1}{v}=\frac{2uv^2+2u/v^2}{(uv)^2+(u/v)^2}=\frac{2}{u}
  
  Ale zauważ, że dokładnie to samo dostaniemy podstawiając najpierw x, y do wzoru na F
  
  \frac{\partial}{\partial u}\,\ln\left[(uv)^2+(u/v)^2\right]=\frac{2v(uv)+ 2u/v^2}{(uv)^2+(u/v)^2}=\frac{2}{u}
  
  Wobec tego możemy nie stosować początkowego wzoru i po prostu podstawić x, y do wzoru na F. W ten sposób policzymy pochodną F po v.
  
  \frac{\partial}{\partial v}\,\ln\left[(uv)^2+(u/v)^2\right]=\frac{2u(uv)- 2u^2/v^3}{(uv)^2+(u/v)^2}=\frac{2(v^4-1)}{v^5+v}
  ===========================================
  
  b)
  Podstawiamy x, y jako funkcje u,v,w do wzoru na F i mamy:
  
  F(u,v,w)=\frac{5v-4u}{1+(u+3x-w)^2+(u-2v+3w)^2}
  
  Pochodne F po u, v, w to kolejno (użyłem programu, aby się nie pomylić)
  po morderczym liczeniu:
  
  \frac{\partial F(u,v,w)}{\partial u}=\frac{2(5v-4w)(2u+v+2w)}{\left[\,1+(u+3v-w)^2+(u-2v+3w)^2 \,\right ]^2}
  
  \frac{\partial F(u,v,w)}{\partial v}=\frac{5+10u^2-65v^2-22w^2+28uw+104vw}{\left[\,1+(u+3v-w)^2+(u-2v+3w)^2 \,\right ]^2}
  
  \frac{\partial F(u,v,w)}{\partial w}=\frac{4+8u^2-38v^2-40w^2+28uv+100vw}{\left[\,1+(u+3v-w)^2+(u-2v+3w)^2 \,\right ]^2}
  ===========================================
  
  Formalny" wzór na obliczanie pochodnej F po u, v, w jest taki sam, jak wzór na początku, różniczkujemy F po x, F po y i mnożymy te pochodne przez pochodne x po u, y po u i tak dalej. Np. pochodna F po w to:
  
  \frac{\partial F}{\partial w}=\frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial w}
  
  Wprawdzie pochodne x, y po u, v, w są proste (bo to stałe liczby), ale w pochodnych F po x, y także się nie uniknie piętrowych ułamków :)
  Wybierz sobie tę metodę, którą chcesz.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie