Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 29.5.2016 (21:50)

  Zgodnie z poleceniem zadania znajdujemy gradient f(x,y) (czyli pochodne cząstkowe).
  Następnie stosujemy wzór Taylora dla dwóch zmiennych, mający postać:
  
  f(x,y) \,\approx f(x_0,y_0) + \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x_0,y_0}\cdot\Delta x+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{x_0,y_0}\cdot\Delta y
  
  gdzie (x0,y0) jest punktem w którym łatwo wyznaczyć f(x0,y0),
  a Delta_x, Delta_y to różnice x - x0 oraz y - y0.
  
  Można ten wzór traktować jako uogólnienie przybliżenia 1-wymiarowego:
  f(x) = f(x0) + (df/dx) * Delta_x
  który mówi o wartościach funkcji f(x) w pobliżu punktu x0.
  Funkcję przybliżamy przez linię prostą o nachyleniu df/dx.
  
  Można też traktować tę sumę pochodnych cząstkowych mnożonych przez Delty
  jako iloczyn skalarny gradientu i wektora (Delta_x, Delta_y).
  Takie podejście przyda się przy liczeniu pochodnych kierunkowych w innym zadaniu.
  ============================
  
  a)
  Jako punkt (x0; y0) wybieramy (1; 1).
  Wtedy Delta_x = 0,97 - 1 = -0,03 oraz Delta_y = 1,04 - 1 = 0,04.
  Liczymy pochodne cząstkowe w punkcie (1; 1)
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{1;1}=\left.\frac{y}{x^2+y^2}\right|_{1;1}=\frac{1}{2}
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{1;1}=\left.\frac{-x}{x^2+y^2}\right|_{1;1}=-\frac{1}{2}
  
  Całe wyrażenie to:
  f(0,97; 1,04) = f(1,1) + (1/2) * (-0,03) - (1/2) * 0,04 = arctg(1) - 0,035
  
  czyli, ponieważ arctg(1/1) = pi/4, to wyrażenie a = pi/4 - 0,035 = około 0,750398
  
  Wartość obliczona za pomocą kalkulatora: a = 0,750586
  Różnica występuje dopiero w czwartej cyfrze znaczącej.
  ============================
  
  b)
  Bierzemy x0 = 6, y0 = 8; wtedy Delta_x = -0,02 oraz Delta_y = 0,01
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{6;8}=\left.\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{1;1}=\frac{3}{5}
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{6;8}=\left.\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{1;1}=\frac{4}{5}
  
  Całe wyrażenie:
  a = pierwiastek(6^2+8^2) + (3/5) * (-0,02) + (4/5) * 0,01 = 9,99600
  
  Wartość liczona kalkulatorem: a = 9,99602 - różnica to tylko 0,00002
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie