Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 29.5.2016 (22:27)

  Zadanie 2.
  Pochodna kierunkowa w punkcie A w kierunku wektora v jest zdefiniowana bardzo podobnie jak obliczanie wartości funkcji f(x,y) w pobliżu punktu A = (x0; y0) [ patrz zadanie #1 ] tylko w tym wypadku jest to iloczyn skalarny gradientu w punkcie A i JEDNOSTKOWEGO wektora w kierunku wektora v.
  
  \frac{\partial f}{\partial v}(A)=\left[\frac{\partial f}{\partial x};\frac{\partial f}{\partial y}\right]_{x_0;y_0}\,\cdot\,\frac{\vec{v}}{|v|}
  
  gdzie kropka oznacza iloczyn skalarny wektorów (gradientu i jednostkowego v).
  
  Sens pochodnej kierunkowej jest taki: Przez punkt (x0; y0) rysujemy prostą w kierunku v. Funkcję f(x,y) można przedstawić w postaci "mapy" z zaznaczonymi poziomnicami. Na tej mapie kierunek gradientu to kierunek największego spadku / wzrostu wartości f(x,y), natomiast zmiana wartości w kierunku wektora v jest określana właśnie przez pochodną kierunkową.
  Tak, jak w przypadku 1-wymiarowym zmiana wartości funkcji:
  Delta_f = (df/dx) * Delta_x pozwala na obliczenie wartości funkcji w pobliżu x0,
  tak znajomość pochodnej kierunkowej pozwala na obliczanie zmiany Delta_f w kierunku v, gdy wektor v zmienia się o małą wartość Delta_v
  [ tak, jak w zadaniu #1 ]. Jednak w odróżnieniu od zadania #1 do pochodnej kierunkowej bierzemy jednostkowy wektor v, a nie wektor (Delta_X, Delta_Y).
  ========================
  
  a)
  Długość wektora v wynosi: |v| = pierwiastek(2^2 + 1^2) = pierwiastek(5).
  Jednostkowy wektor v / |v| = (2; 1) / pierwiastek(5).
  
  Pochodne cząstkowe w punkcie A = (3; 1)
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{3;1}=\left.(2x+x^2)e^{x-3y}\right|_{3;1}=15
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{3;1}=\left.-3x^2e^{x-3y}\right|_{3;1}=-27
  
  Iloczyn skalarny, czyli szukana wartość pochodnej kierunkowej:
  (15; 27) * (2; 1) / pierwiastek(5) = 3 * / pierwiastek(5) (jedna liczba)
  ========================
  
  b)
  v / |v| = pierwiastek [ 1^2 + (-2)^2 + 3^2 ] = pierwiastek(14)
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0;-1;1}=\left.y\,\cos(xy)\right|_{0;-1;1}=-1
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{0;-1;1}=\left[z+x\,\cos(xy)\right]_{0;-1;1}=1
  
  \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_{0;-1;1}=\left.y\right|_{0;-1;1}=-1
  
  Iloczyn skalarny (wektory są 3-wymiarowe)
  (-1; 1; -1) * (1; -2; 3) / pierwiastek(14) = - 6 / pierwiastek(14) (jedna liczba)
  ========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie