Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 23.1.2016 (09:15)

  Nie próbuję LaTeXa - swoją drogą zobacz hasło "mbox{...}" - aby nie sklejało słów :)
  Wartości liczbowe tych zmiennych są nieważne, to, co musimy sprawdzić, to prawdopodobieństwa. Mamy pewien zbiór zdarzeń elementarnych Omega, napiszę go tak (O = orzeł, R = reszka)
  
  Omega = { (O;O), (O;R), (R;O),(R;R) }
  
  Ten zbiór dzielimy na podzbiory, osobno dla każdej zmiennej.
  Przez p(...) oznaczamy prawdopodobieństwa.
  
  Dla zmiennej X:
  X0 = { (R;O),(R;R) } - reszka w pierwszym rzucie ; p(X0) = 1 / 2
  X1 = (O;O), (R;O) } - orzeł w drugim rzucie ; p(X1) = 1 / 2
  
  Dla zmiennej Y:
  Y0 = { (O;R), (R;O),(R;R) } - jedna lub dwie reszki; p(Y0) = 3 / 4
  Y1 = { (O;O) } - same orły p(Y1) = 1 / 4.
  
  Teraz jest ważne:
  Aby pokazać, że zmienne X i Y są niezależne trzeba udowodnić, że dla każdego podzbioru Xi gdzie (i = 0,1) i dla każdego podzbioru Yj gdzie (j = 0,1) zachodzi taka równość:
  
  p(Xi) * p(Yj) = p(Xi n Yj) ; [ "n" to iloczyn zbiorów ]
  
  Jeden kontrprzykład wystarczy - tak "na intuicję" wynik "same orły" wyklucza reszkę w pierwszym rzucie, więc weźmy iloczyn zdarzeń Y1 n X0. Szansa na jego realizację to ZERO. Czyli (pobawię się LaTeX'em, ładnie wygląda :)
  
  p(Y_1)\cdot p(X_0) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \qquad\mbox{oraz}\qquad p(Y_1\cap X_0) = 0
  
  zatem
  
  p(Y_1)\cdot p(X_0)\neq p(Y_1\cap X_0)
  
  czyli zmienne X i Y są zależne. Koniec dowodu - jak pisałem - 1 kontrprzykład wystarczy.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie