Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 21.11.2015 (12:46)

  Rozwiążmy najpierw zadanie 7 wykorzystując gotowy rysunek z zadania 6 (bo mi się szczerze nie chce rysować, skoro rysunek jest już gotowy). Dorysuj tylko proszę do tego rysunku wysokość trójkąta DEC z punktu E i oznacz przecięcie tej wysokości z bokiem CD przez "G", a przecięcie wysokości trójkąta ABE z punktu E z bokiem AB oznacz "F". Dodatkowo nazwij długość boku AB przez "a" (w miejsce liczby 6) i długość boku CD przez "b" (w miejsce liczby 4). Wysokość trójkąta ABC (odcinek EF) nazwij "H" (w miejsce liczby 3), a wysokość EG trójkąta DEC nazwij "h".
  
  Masz zrobiony rysunek - to jedziemy:
  ========================================
  
  Zadanie 7 (wcale nie zasługuje na "trudne z kropką")
  
  Znajdźmy na rysunku jednakowe kąty.
  Kąt AEB = kąt DEC
  Kąt ACD = kąt CAB (bo prosta AC przecina równoległe proste AB i CD)
  Kąt BDC = kąt ABD (powód jak wyżej)
  
  Wobec tego trójkąty AEB i DEC mają odpowiednie kąty równe i są podobne.
  Natomiast trójkąty AED i BEC nie są podobne, zrobimy z nimi inaczej.
  
  Skoro trójkąty AEB i DEC są podobne, to stosunek H / h = a / b.
  Stosunek pola P1 trójkąta AEB do pola P2 trójkąta DEC wynosi:
  
  P1 / P2 = [ (1/2) a H ] / [ (1/2) b h ] = (a/b) * (H /h) czyli P1 / P2 = (a / b)^2
  
  Teraz pozostałe trójkąty. Oznacz proszę na rysunku pola tak, jak jak robię na kartce leżącej obok:
  Pole trójkąta AEB to P1, pole trójkąta DEC to P2, pole AED to P3.
  Chodzi nam o stosunek pól P3 / P1.
  
  Zauważ, że pole trójkąta ABD wynosi: P = P1 + P3.
  Jednocześnie to pole jest równe P = (1/2) a (h + H).
  Wobec tego:
  
  P3 / P1 = (P - P1) / P1 = P / P1 - 1 ; wstawiamy wzory na te pola:
  
  P3 / P1 = [ (1/2) a (h + H) ] / [ (1/2) a H ] - 1 ; czyli, po skróceniu (1/2) a
  
  P3 / P1 = (h + H) / H - 1 = h/H + 1 - 1 = h/H = a / b.
  Fajny wynik, jeśli się nie pomyliłem :)
  Nawiasem mówiąc pola trójkątów AED i BEC są równe, bo oba wynoszą: P - P2.
  ========================================
  
  Zadanie 6.
  Używamy oznaczeń i wyników z zadania 7.
  a = 6; b = 4; H = 3 ; więc h = 3 * (4 / 6) = 2.
  
  Pole ABE = (1/2) * 6 * 3 = 9
  Pole DEC = (1/2) * 6 * 2 = 6
  Pole AED = pole ACD - pole DEC i jest takie samo jak pole BCE (to jest wniosek z zadania 7)
  czyli
  Pole AED = (1/2) * 4 * (3 + 2) - 6 = 10 - 6 = 4.
  
  Sprawdzamy sumę pól wszystkich trójkątów: 9 + 6 + 4 + 4 = 25.
  Pole trapezu to (6 + 4) * (3 + 2) / 2 = 25. Suma się zgadza :)
  ========================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  
  
  
  
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie