Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 23.11.2015 (16:06)

  W pierwszej części zadania chodziło o znalezienie naturalnych liczb "n"
  dla których jest spełniona nierówność :
  (2n)!<(2^n)^n.
  
  Okazało się, (przez bezpośrednie liczenie) ,
  że nierówność jest prawdziwa dla n = 4
  i chodziło o dowód, że jest ona prawdziwa dla n > 4
  Dowód jest indukcyjny - tworzymy ciąg:
  
  a_n = \frac{(2^n)^n}{(2n)!}=\frac{2^{n^2}}{(2n)!}
  
  i dowodzimy, że ten ciąg jest rosnący dla n > 3.
  Dzielenie wyrazu a(n+ 1) / a(n) prowadziło do wyrażenia:
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4^n}{2n^2+3n+1} > 1
  
  i trzeba pokazać prawdziwość tej nierówności dla n > 3.
  Dla n = 4 mamy a_5 / a_4 = 4^4 / (2 * 4^2 + 3 * 4 + 1) = 256 / 45 > 1, spełnione.
  =============
  
  Tworzymy kolejny ciąg b(n) = a(n+1) / a(n) i pokazujemy, że jest on rosnący dla n > 3.
  W tym celu ponownie dzielimy b(n+1) przez b(n).
  Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek to jest mnożenie przez jego odwrotność, więc:
  
  \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{4^{n+1}}{2(n+1)^2+3(n+1)+1} \cdot \frac{2n^2+3n+1}{4^n}
  
  i dalej po uproszczeniach:
  
  \frac{b_{n+1}}{b_n}= 4\cdot\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6}
  
  Powyższe wyrażenie jest równe 4 * (15/22) > 1 dla n = 4.
  
  Dla większych "n", ponieważ granica ułamka (tego z n^2) wynosi:
  
  \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6} = 1
  
  a ułamek rośnie MONOTONICZNE od 15/22 do 1 [ dowód niżej ],
  to skoro całe wyrażenie jest > 1 dla n = 4 to tym bardziej jest > 1 dla n > 4.
  
  Wobec tego ciąg (b_n) jest rosnący, czyli stosunek a(n+1) / a(n) jest rosnący,
  wobec tego ciąg (a_n) jest rosnący,
  wobec tego (2^n)^n jest CORAZ WIĘKSZE od (2n)!, czyli
  skoro jest większe już dla n = 4, to tym bardziej jest większe dla większych "n".
  
  Uff !
  ==================
  
  Dowód monotonicznego wzrostu: Zapiszmy tak:
  
  \frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6} = \frac{2n^2+7n+6-4n-5}{2n^2+7n+6} =1-\frac{4n+5}{2n^2+7n+6}
  
  Tu już się chyba zgodzisz, bez konieczności ścisłego dowodu, że ułamek po prawej stronie maleje do zera wraz ze wzrostem "n", więc wartość całego wyrażenia (równa 15/22 dla n = 4) będzie dążyć monotoniczne do 1 ???
  A pamiętaj, że tą wartość mnoży się przez 4 i ten iloczyn jest na pewno > 1
  
  W razie dalszych pytań pisz proszę na priv :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie