Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 20.11.2015 (15:14)

  (2n)!<(2^n)^n.
  
  Bardzo szybko ta nierówność zaczyna być prawdziwa.
  
  Ręcznie liczymy:
  dla n = 0 mamy (2*0) ! = 1 = (2^0)^0 ; (równość, nie nierówność)
  dla n = 1 mamy (2 * 1) ! = 2 = (2^1)^1 ; (równość, nie nierówność)
  
  dla n = 2 mamy (2 * 2) ! = 24 > (2^2)^2 = 4^2 = 16 [ nierówność niespełniona ]
  dla n = 3 mamy (2 * 3) ! = 720 > (2^3)^3 = 8^3 = 512 [ nierówność niespełniona ]
  
  dla n = 4 mamy (2 * 4) ! = 40320 < (2^4)^4 = 16^4 = 65536 [ nierówność spełniona ]
  
  i od tego momentu wyraz (2^n)^n = 2^(n^2) zdecydowanie przeważa nad (2n) !
  czyli nierówność zachodzi dla n > 3
  
  Trzeba tylko udowodnić, że jest to prawda dla każdego n > 3.
  Robimy to przez indukcję.
  Podzielmy obie strony startowej nierówności przez (2n)!
  i utwórzmy ciąg o wyrazach:
  
  a_n= \frac{2^{n^2}}{(2n)!}
  
  Do udowodnienia nierówności z zadania trzeba pokazać, że a_n > 1
  zaczynając od pewnego "n" (tutaj: od n = 4)
  
  Indukcja:
  Krok początkowy: Dla n = 4 wyraz a_4 > 1.
  Założenie indukcyjne: dla pewnego n > 3 zachodzi a_n > 1
  Teza: dla n+1 także zachodzi a_(n+1) > 1
  
  Dowód: Znajdźmy iloraz wyrazu a_(n+1) tego ciągu przez wyraz a_n.
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2^{(n+1)^2}}{(2n+2)!}}{\frac{2^{n^2}}{(2n)!}}=\frac{2^{n^2+2n+1}}{(2n)!\,(2n+1)(2n+2)}\cdot\frac{(2n)!}{2^{n^2}}=\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)(2n+2)}
  
  Jeszcze można to prościej zapisać:
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\,\cdot 4^n}{4n^2 + 6n + 2} =\frac{4^n}{2n^2 + 3n + 1} > 1
  
  dla n > 3
  Tą nierówność po prawej stronie to już na pewno umiesz udowodnić :)
  
  Wobec tego zdefiniowany powyżej ciąg (a_n) jest rosnący
  i ponieważ z założenia indukcyjnego a_n > 1 to teza: a_(n+1) > 1 jest prawdziwa, co kończy dowód indukcyjny.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie