Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 17.12.2013 (16:36)

  Zad 3.
  Szukana styczna ma równanie: y = ax + b
  gdzie "a" jest wartością pochodnej dla x = -2
  natomiast "b" trzeba tak dobrać, aby punkt na stycznej pokrył się z wartością y(-2)
  czyli styczna ma przechodzi przez: (-2; y(-2)) czyli przez punkt P(-2 ; -6)
  
  Pochodna y ' (x) = 2x + 3
  W punkcie x = -2 mamy y ' (-2) = -1 ; więc a = -1
  Aby styczna przechodziła przez punkt P:
  
  -6 = (-1) * (-2) + b ; stąd b = -8
  
  Równanie stycznej: y = - x - 8
  
  =====================================
  
  Zad 4.
  Moim zdaniem - NIE.
  
  Weźmy okolice punktu x = 0, na przykład przedział (-1/10 ; 1/10).
  (takie małe x wybrałem specjalnie, patrz dalej)
  Dla x > 0 mamy |sin(x)| = sin(x) bo sinus jest dodatni dla takich małych x.
  Dla x < 0 mamy |sin(x)| = -sin(x) bo sinus jest ujemny dla takich małych x.
  Dla x = 0 mamy |sin(0)| = 0.
  
  Wykres funkcji |sin(x)| ma w okolicy zera kształt litery V.
  
  Wyjaśnienie geometryczne:
  Jaka miałaby być pochodna tej funkcji w x = 0 ?
  Pochodna to nachylenie prostej stycznej do wykresu. Ale w najniższym punkcie litery V mamy NIESKOŃCZENIE WIELE prostych stycznych - pochodna jest nieokreślona.
  
  Wyjaśnienie "analityczne:
  Aby pochodna istniała, to OBIE granice, lewo- i prawostronna ilorazu:
  [ f(x+h) - f(x) ] / h
  muszą być równe.
  Tymczasem po prawej stronie zera mamy y(x) = sin(x) i pochodną y'(x) = cos(x)
  która dąży do 1 gdy x --> 0
  a po lewej stronie mamy y(x) = MINUS sin(x) i pochodną y'(x) = - cos(x)
  która dąży do MINUS 1 gdy x --> 0
  Więc obie granice NIE są równe, co wyklucza istnienie pochodnej w x = 0.
  
  Jeden kontrprzykład wystarczy :)
  Swoją drogą jeśli wykres funkcji ma "dzióbek" jak litera V to najprawdopodobniej nie ma w tym dzióbku pochodnej - ale NIE jest to twierdzenie matematyczne!
  =====================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie