Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 29.5.2011 (00:22)

  f(x) = \frac{x^2 -6x +9}{x-1}
  
  1.
  Dziedzina: R - {1} (mianownik niezerowy)
  
  2.
  Licznik = 0 ; x^2 -6x + 9 = 0 ; można to zapisać jako:
  (x - 3)^2 = 0 ; podwójne miejsce zerowe x = 3
  
  3.
  Nie ma
  
  4.
  W okolicy x = 1 licznik jest dodatni, granica zależy od znaku mianownika.
  Gdy x--> 1 z lewej strony mianownik jest < 0, więc granica lewostronna w x = 1 to -oo; gdy x -->1 z prawej strony jest odwrotnie, f(x) --> +oo.
  
  5.
  Asymptota pionowa: x = 1.
  Poziomych nie ma, dla x-->oo pomijamy -6x + 9 w liczniku i -1 w mianowniku i funkcja zachowuje się jak "x". Nie wiem, jak to nie wystarczy to trzeba podzielić licznik i mianownik przez x. Zależy, jak wykładowca wymaga.
  Asymptoty ukośne, jako proste y = ax + b, liczę ze wzoru:
  a = \lim\frac{f(x)}{x} = \lim{\frac{(x-2)^2}{x(x-1)} = 1
  Wsp "a" jest jednakowy dla -oo i +oo.
  b = \lim (f(x) - ax) = \lim\left(\frac{x-3)^2}{x-1} - x\right) = \lim\frac{(x-3)^2 - x(x-1)}{x-1} = -5
  Tak samo jest dla -oo i dla +oo, jest więc tylko jedna ukośna asymptota
  y = x - 5
  
  6.
  f'(x) = \frac{2(x-3)(x-1) - (x-3)^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}
  Dziedzina - jak funkcja, D = R - {1}
  
  7.
  Licznik = 0, czyli x^2 - 2x -3 = 0
  wyróżnik = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 16 = 4^2
  x1 = (2 - 4) / 2 = -1
  x2 = (2 + 4) / 2 = 3
  
  8.
  Mianownik w całej dziedzinie jest dodatni, więc znak f ' (x) zależy od znaku licznika.
  Licznik to parabola w kształcie U, czyli (miejsca zerowe mam policzone wyżej)
  f ' (x) > 0 dla x < -1 lub x > 3
  f ' (x) < 0 dla x z przedziału (-1, 3)
  W punkcie x = -1 pochodna zmienia znak z + na - , maksimum
  W punkcie x = 3 pochodna zmienia znak z - na + , minimum
  Obliczam wartości w ekstremach lokalnych:
  f(-1) = (-1-3)^2 / (-1-1) = -8 w lokalnym maksimum
  f(3) = (3-3)^2 / (3-1) = 0 w lokalnym minimum
  
  9.
  f''(x) = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - 2(x-1)(x^2-2x-3)}{(x-1)^4} = \frac{8}{(x-1)^3}
  (W dziedzinie, czyli w D = R - {1} mogę dzielić licznik i mianownik przez x - 1.)
  Przepraszam, że pomijam szczegóły przekształceń, jesteśmy dorosłymi ludźmi, a ja mam poza tym pod ręką "Maximę" która to za mnie liczy :)
  
  10, 11
  f ''(x) jest zawsze dodatnia w swojej dziedzinie.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie