Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 20.5.2013 (07:38)

  Gratuluję zapisu potęg jako x^n oraz zapisu a_n (jak w LaTeXu)
  Mało kto tak robi.
  Nawiasy w a_{n} nie są konieczne, jeżeli w a_n jest tylko jedna literka.
  Zobacz: a_n daje a_n ale a_nn daje a_nn lecz a_{nn} daje a_{nn}
  
  1. Czy ciąg (an) jest arytmetyczny - odpowiedź uzasadnij
  
  Metoda: Różnica kolejnych wyrazów ciągu, a(n+1) - a(n) ma być stała.
  
  A) an = 5 - 2n
  Tak
  a(n+1) - a(n) = [5 - 2(n+1)] - [5 - 2n] = 5 - 2n -2 - 5 + 2n = -2. Jest stała.
  
  B) an = n^{2} + 1
  Nie
  a(n+1) - a(n) = [(n+1)^2 + 1] - [n^2 + 1] = n^2 + 2n + 1 + 1 - n^2 - 1 = 2n + 1
  Różnica zależy od n.
  
  2. Czy ciąg (an) jest geometryczny - odpowiedź uzasadnij
  
  Metoda: Iloraz kolejnych wyrazów ciągu, a(n+1) / a(n) ma być stały.
  
  A) an = 3n^{2}
  Nie
  a(n+1) / a(n) = [3(n+1)^2] / [3n^2] = [(n+1) / n]^2. Zależy od n.
  Ciąg kwadratów liczb NIE jest geometryczny. Ciąg 3*2^n byłby.
  
  B) an = 3n + 2
  Nie. To jest ciąg arytmetyczny.
  a(n+1) / a(n) = [3(n+1) + 2] / [3n + 2] = (3n + 5)(3n + 2). Zależy od n.
  
  3. Liczby w podanej kolejności x-2,3,x+6 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x
  
  W ciągu arytmetycznym suma sąsiednich wyrazów (dla n > 1) jest równa podwojonemu wyrazowi środkowemu, czyli:
  a(n+1) + a(n-1) = 2a(n)
  W tym przypadku mamy równanie:
  (x-2) + (x+6) = 2*3 ; stąd
  2x+4 = 6
  2x = 2
  x = 1 ; ciąg to: -1, 3, 7 ; różnica wynosi 4
  
  4. Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego 27,-19,12. Dopisz trzy kolejne wyrazy tego ciągu i wyznacz wzór ogólny.
  
  Tam na pewno jest -19 ?? Ciąg nie byłby geometryczny.
  Pozwolę sobie założyć, że ciąg to: 27, -18, 12.
  Iloraz wyrazu a2 przez a1 wynosi -18 / 27 = -2 / 3
  I to się zgadza, bo a3 / a2 = 12 / (-18) = -2 / 3
  Wzór ogólny: an = a1 * q^(n-1) = 27 * (-2/3)^(n-1)
  Kolejne wyrazy:
  a4 = 12 * (-2/3) = -8; a5 = -8*(-2/3) = 16/3; a6 = 16/3 * (-2/3) = -32/9
  
  5. Wyznacz który wyraz ciągu arytmetycznego (an) o pierwszym wyrazie a_{1}=2 i różnicy r=6 jest równy 122.
  
  Piszemy an = a1 + r*(n-1) ; tutaj a1 = 2 oraz r = 6 więc:
  122 = 2 + 6(n-1) ; stąd
  122 = 2 + 6n - 6
  126 = 6n
  n = 21
  
  6. Czwarty wyraz ciągu geometrycznego równa się 3, a piąty -1,5. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
  
  Iloraz ciągu wynosi q = a5 / a4 = -1,5 / 3 = -0.5.
  Chyba prościej będzie policzyć a3, a2, a1, a6 niż rozwiązywać równania.
  a3 = a4 / q = 3 / (-0.5) = -6
  a2 = a3 / q = -6 / (-0.5) = 12
  a1 = a2 / q = 12 / (-0.5) = -24
  a6 = a5 * q = (-1,5) * (-0.5) = 0,75
  Suma = -24 + 12 - 6 + 3 - 1,5 + 0,75 = -15,75

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie