Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (14:02)

  Zadanie 1.
  Wykluczamy wartości alfa gdy tg lub ctg jest nieskończony,
  tzn. alfa nie jest równe k * pi / 2; k jest liczbą całkowitą.
  
  Zapisujemy tg jako sin/cos oraz ctg jako cos/sin i sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:
  
  lewa\,\,strona = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\sin\alpha\cos\alpha = 1
  
  Lewa strona = prawa strona, tożsamość jest prawdziwa dla kątów spełniających warunek napisany na początku rozwiązania.
  ===============================
  
  Zadanie 2.
  Policzymy współrzędne górnego rogu kwadratu na rysunku.
  Pole kwadratu = 18, a jednocześnie pole kwadratu to iloczyn jego przekątnych dzielony przez 2. Iloczyn przekątnych wynosi więc 2 * 18 = 36, więc przekątna ma długość 6.
  Punkt - górny róg - ma współrzędne (0, 6)
  
  [ dalej czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  Trochę już o paraboli wiemy: Gdy napiszemy jej równanie w postaci kanonicznej:
  f(x) = a(x - b)^2 + c
  to współrzędne wierzchołka wynoszą: (b, c).
  Wobec tego b = 0, c = 6 i nasza parabola ma równanie: f(x) = ax^2 + 6
  
  Teraz zauważ, że prawy róg kwadratu to (3,3)
  (połowa przekątnej na x, połowa przekątnej na y).
  Wstawiamy x = 3, y = 3 do równania paraboli: 3 = a * 3^2 + 6 więc
  a = (3 - 6) / 9 = -1/3.
  Całe równanie paraboli: f(x) = (-1/3)x^2 + 6
  ===============================
  
  Zadanie 3.
  Badamy znak różnicy a(n+1) - a(n)
  
  a_{n+1}-a_n=\frac{5(n+1)+2}{5(n+1)+3}-\frac{5n+2}{5n+3} = \frac{5n+7}{5n+8}-\frac{5n+2}{5n+3} =
  
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika
  
  = \frac{(5n+7)(5n+3)-(5n+2)(5n+8)}{(5n+8)(5n+3)} = \frac{5}{(5n+8)(5n+3)}
  
  Wyrażenie po prawej stronie jest dodatnie dla n > 0.
  Ciąg jest rosnący, bo każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.
  ===============================
  
  Zgłoś proszę zadania 4 i 5 oddzielnie, bo ten tekst staje się za długi :)
  Załącznik ten sam, tylko zaznacz, że chodzi o zadania 4 i 5.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie