Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.5.2011 (08:51)

  Energia kinetyczna Ek we wzorze relatywistycznym to
  Ek = E - Eo ; (wzór pierwszy) gdzie
  Eo to energia spoczynkowa, równa m0 * c^2 ; gdzie (m0 - masa spoczynkowa)
  E to energia całkowita równa m * c^2
  W masie m "siedzi" prędkość v, którą chcę obliczyć, mianowicie:
  m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\qquad (wzór drugi)
  Wykonuję dwa kroki:
  1) Obliczam masę m z energii kinetycznej i spoczynkowej za pomocą wzoru
  E = E_k + Eo ; wynikającego z pierwszego wzoru:
  m = \frac{E}{c^2} = \frac{E_k + E_0}{c^2} = \frac{E_k}{c^2} + m_0\qquad (wzór trzeci)
  2) Znajduję prędkość v ze wzoru drugiego. W tym celu mnożę go przez mianownik prawej strony i podnosze obie strony do kwadratu:
  m^2\,\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = m_0^2
  Mnożę obie strony przez c^2, dzielę przez m^2 i znajduję v^2
  v^2 = c^2 - c^2\frac{m_0^2}{m^2} = c^2\,\left(1 - \frac{m_0^2}{m^2}\right)\qquad (wzór czwarty).
  i następnie, pierwiastkując obie strony, znajduję v
  v = c\,\sqrt{1 - \frac{m_0^2}{m^2}}
  Zauważ, że we wzorze czwartym jeśli m = m0 to v = 0, a gdy m staje się nieskończona, to v dąży do c.
  
  Trzeba teraz osobno dla elektronu i dla protonu wykonać obliczenia wzorami trzecim i czwartym.
  Przeliczam najpierw energię 10 MeV na dżule.
  10 MeV = 10 * 1,6 * 10^(-19) * 1000000 = 1,6 * 10^(-12) J.
  oraz wyrażenie Ek / c^2 na kilogramy:
  Ek / c^2 = 1,6 * 10^(-12) / (3 * 10^8)^2 = 1,77778 * 10^(-29) kg.
  
  Dla elektronu, ze wzoru trzeciego:
  m = 1{,}777778\cdot 10^{-29} + 9{,}01\cdot 10^{-31} = (1{,}777778 + 0{,}0901) \cdot 10^{-29} \,\approx\,1{,}868\cdot 10^{-29}\,\,kg
  i prędkość ze wzoru czwartego
  v_e = c\cdot\sqrt{1 - \frac{(9{,}01\cdot 10^{-31})^2}{(1{,}868\cdot 10^{-29})^2}} \,\approx\,0{,}9988\, c
  To jest prędkość relatywistyczna elektronu o oenergii kinetycznej 10 MeV jako ułamek prędkości światła.
  
  Dla protonu, ze wzoru trzeciego (w danych zadania jest błąd, masa protonu to 1,67 razy 10 do minus DWUDZIESTEJ siódmej).
  m = 1{,}777778\cdot 10^{-29} + 1{,}67\cdot 10^{-27} = (0{,}01777778 + 1{,}67) \cdot 10^{-27} \,\approx\,1{,}6878\cdot 10^{-27}\,\,kg
  i prędkość ze wzoru czwartego
  v_p = c\cdot\sqrt{1 - \frac{(1{,}67\cdot 10^{-27})^2}{(1{,}6878\cdot 10^{-27})^2}} \,\approx\,0{,}021\, c
  To jest prędkość relatywistyczna protonu o oenergii kinetycznej 10 MeV jako ułamek prędkości światła.
  Jak widać mamy zdecydowaną różnicę w prędkościach - proton prawie "stoi w miejscu" :)
  
  Policzę teraz obie prędkości klasycznie. Dla odróżnienia od poprzednich będę je oznaczał dużymi literami V. Wyrażę wynik w jednostkach prędkości światła, aby łatwiej było porównywać.
  Najierw wyliczam V ze wzoru na energię kinetyczną: V = pierwiastek(2 * Ek / m).
  Energię 10 MeV zamieniłem poprzednio, jest to 1,6 * 10^(-12) J.
  Dla elektronu
  V_e = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6 \cdot 10^{-12}}{9{,}01 \cdot 10^{-31}}} \,\approx\,18{,}85\cdot 10^8\,\,m/s
  Specjalnie tak zapisałem wynik, aby łatwiej dzielił się przez prędkość światła, równą 3 * 10^8 m/s. Po podzieleniu:
  Ve = 6,28 c.
  
  Dla protonu
  V_p = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6 \cdot 10^{-12}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}}} \,\approx\,0{,}438\cdot 10^8\,\,m/s
  Po podzieleniu przez prędkość światła: Vp = 0,146 c.
  
  Przypominam prędkości relatywistyczne:
  ve = 0,9988 c oraz vp = 0,021 c
  
  Obliczam błędy względne. Jako "właściwą" traktuję prędkość relatywistyczną. Dla elektronu ve praktycznie jest równa c, stąd błąd względny wynosi:
  \frac{V_e - v_e}{v_e}\cdot 100\% = \frac{6{,}28 - 1}{1}\cdot 100\% = 628\%
  Dla protonu:
  \frac{V_p - v_p}{v_p}\cdot 100\% = \frac{0{,}146 - 0{,}021}{0{,}021}\cdot 100\% = 595\%
  
  Błędy względne i tak są duże, ale błąd dla elektronu jest większy. Energia spoczynkowa elektronu, wyrażona w MeV, to około 0,5 MeV (20 razy mniej, niż 10 MeV), a energia spoczynkowa protonu to około 1800 MeV (180 razy więcej niż 10 MeV). Dlatego efekty relatywistycne (wzrost masy) są bardziej widoczne dla elektronu niż dla protonu.
  
  Pozdrowienia - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie