Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 21.5.2011 (21:55)

  Dane:
  Ek1 = 10 MeV - początkowa energia kinetyczna enektronu
  Ek2 = 40 MeV - końcowa energia kinetyczna enektronu
  Prędkość wzosła o 0,11 %, czyli stosunek v2 / v1 = 1,011.
  Potrzebna będzie jeszcze energia spoczynkowa Eo elektronu, którą znajduję w tablicach:
  Eo = 0,511 MeV
  
  Korzystam z relatywistycznego wzoru na energię kinetyczną. Ma on postać:
  Ek = E - Eo ; gdzie E - całkowita energia elektronu. Ta energia z kolei jest równa:
  E = m c^2 ; gdzie m - relatywistyczna masa elektronu. W niej "siedzi" prędkość v.
  E = mc^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
  Teraz będzie trochę przekształceń. To, co liczniku jest energią spoczynkową Eo elektronu, Dążę do znalezienia prędkości v z powyższego wzoru. Najpierw obliczę kwadrat E, który, jak wynika ze wzorów na początku, jest równy:
  E^2 = (Ek + Eo)^2
  (E_k + E_0)^2 = \frac{E_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}
  Mnożę licznik i mianownik prawej strony przez c^2, odwracam proporcję:
  \frac{1}{(E_k + E_0)^2} = \frac{c^2 - v^2}{E_0^2c^2}
  Mnożę przez mianownik prawej strony, obliczam v^2
  v^2 = c^2 - \frac{E_0^2c^2}{(E_k + E_0)^2} = c^2\left(1 - \frac{E_0^2}{(E_k+E_0)^2}\right)
  Wzór na górze zaznaczam (***). Jeszcze się przyda.
  
  Mając ostatni wzór mogę już napisać wyrażenie na stosunek kwadratów prędkości. Trochę się poupraszcza:
  \frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{ c^2\left(1 - \frac{E_0^2}{(E_{k2}+E_0)^2}\right)}{ c^2\left(1 - \frac{E_0^2}{(E_{k1}+E_0)^2}\right)} = \frac{(E_{k2} + E_0)^2 - E_0^2}{(E_{k1} + E_0)^2 - E_0^2}\cdot\frac{(E_{k1} + E_0)^2}{(E_{k2} + E_0)^2}
  Mogę podstawić dane z zadania i obliczyć stosunek prędkości:
  \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{(40 + 0{,}511)^2 - 0{,}511^2}{(10 + 0{,}511)^2 - 0{,}511^2}}\cdot\frac{10 + 0{,}511}{40 + 0{,}511} \,\approx\,1{,}0011
  Jak widać stosunek prędkośći dokładnie odpowiada wynikowi eksperymentu.
  
  Ze wzoru (***) policzę jeszcze (w jednostkach c) obie prędkości.
  v_1 = c\,\sqrt{1 - \frac{E_0^2}{(E_{k1}+E_0)^2}} = c\,\sqrt{1 - \frac{0{,}511^2}{(10+0{,}511)^2}} \,\approx\, 0{,}998818c
  v_2 = c\,\sqrt{1 - \frac{E_0^2}{(E_{k2}+E_0)^2}} = c\,\sqrt{1 - \frac{0{,}511^2}{(40+0{,}511)^2}} \,\approx\, 0{,}999920c
  
  Ufff !
  
  Pozdro - Antek
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie