Zamknij

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej polityce prywatności.

Treść zadania

pieseczek

Dwie pompy, pracując jednocześnie, mogłyby opróżnić zbiornik w ciągu 6 godzin. Gdyby najpierw jedna z pomp wykonała połowę pracy, a następnie druga pompa samodzielnie dokończyła, to wówczas zbiornik byłby pusty po 16 godzinach, W ciągu ilu godzin każda z pomp mogłaby samodzielnie opróżnić ten zbiornik?

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Najlepsze rozwiązanie

  • 1 0

    Wprowadźmy takie zmienne:
    V1, V2 - "prędkość" każdej z pomp, wyrażana np w litrach / godzinę, czyli l/h
    Z - pojemność zbiornika

    Wtedy szukane czasy to: t1 = Z / V1 oraz t2 = Z / V2

    Wykorzystajmy informację z zadania:

    "gdyby jedna z pomp wykonała połowę pracy" - czas jej pracy to:
    t_pierwsza = (Z/2) / V1
    (bo Z/2 to połowa pojemności zbiornika, V1 - "prędkość" pompy)

    "a druga pompa samodzielnie dokończyła" - czas:
    t_druga = (Z/2) / V2

    Razem ma to dawać 16 godzin, mamy więc równanie:
    16 = t_pierwsza + t_druga ; czyli

    (Z/2) / V1 + (Z/2) / V2 = 16 ; mnożymy przez 2
    Z / V1 + Z / V2 = 32 <------------------------------ pierwsze równanie

    Kolejna informacja:
    "Dwie pompy, pracując jednocześnie, mogłyby opróżnić zbiornik w ciągu 6 godzin."
    Czyli

    Z / (V1 + V2) = 6 <----------------- drugie równanie

    Od tego momentu zaczyna się tylko algebra. Mamy wprawdzie 3 niewiadome i 2 równania, ale pamiętaj, że potrzebne są nam jedynie stosunki Z / V, a NIE wartości wszystkich trzech zmiennych. Jest wiele sposobów na rozwiązanie tych równań, ale proponuję taką "sztuczkę":

    Wyraźmy pojemność zbiornika w takich jednostkach, aby Z stało się równe 1.
    WOLNO nam, bo można w końcu wymiar prędkości V opisać jako "zbiornik/h"
    TRACIMY wymiary, ale i tak je straciliśmy pisząc czas jako "6", a nie "6 godzin".
    Trzeba "na intuicję"
    Wtedy do obliczenia są czasy:
    t1 = 1 / V1 ; oraz t2 = 1 / V2 ; [ wymiarem wyniku będą godziny ]

    i poprzednie równania dają taki układ:
    1 / V1 + 1 / V2 = 32 <------------ równanie #3
    1 / (V1 + V2) = 6 <----------------- równanie #4

    Równanie #3 mnożymy przez iloczyn V1 * V2.
    Równanie #4 mnożymy przez mianownik
    V2 + V1 = 32 * V1 * V2 <----------- równanie #5
    1 = 6 * (V1 + V2) <-------------------- równanie #6

    Z równania #6 mamy sumę V1 + V2 = 1/6. Wstawiamy to do równania #5
    V1 * V2 = 1 / 192 <------------- równanie #7
    V1 + V2 = 1 / 6 <----------------- równanie #8

    Ten układ równań ma rozwiązania: V1 = 1/24; V2 = 1/8 [ lub odwrotnie ]
    Jeśli sposobu na ten układ równań nie miałaś/miałeś (?) na matmie, to proszę czytaj na dole pod kreską ========== . Dokończmy teraz zadanie "fizyczne". Pisałem, że
    t1 = 1 / V1 ; więc t1 = 1 / (1/24) = 24 h <------- czas pracy pierwszej pompy
    t2 = 1 / V2 ; więc t2 = 1 / (1/8) = 8 h <---------- czas pracy drugiej pompy
    ------------------------------------------------------------
    Sprawdźmy jeszcze, czy to się zgadza.
    Dwie pompy pracując razem mają wydajność 1/24 + 1/8 = 1/6
    więc opróżnią zbiornik w czasie:
    t = 1 / (V1 + V2) = 1 / (1/6) = 6 godzin. Zgadza się.

    Pierwsza pompa opróżniła 1/2 zbiornika w czasie t1 = (1/2)/(1/24) = 12 godzin
    Druga pompa opróżniła 1/2 zbiornika w czasie t2 = (1/2)/(1/8) = 4 godziny
    Razem: t1 + t2 = 12 + 4 = 16 godzin. Zgadza się.

    Pisz proszę na priv, jeśli to rozwiązanie jest niezrozumiałe, albo jeśli masz prostszy pomysł - na pewno taki jest
    ===========================================

    Jeśli nie było tego na lekcji matematyki, to układ równań #7,#8 rozwiązuje się zmieniając je w równanie kwadratowe. Najpierw proszę zobacz załącznik *.pdf. Czerwone krzywe to wykres równania #7. Są to dwie gałęzie hiperboli, opisanej przez V1 * V2 = 1/192. [ Skale na osiach V1,V2 są RÓŻNE ].
    Zielona prosta to wykres zależności V1 + V2 = 1/6.
    Jak widać zielone i czerwone linie przecinaną się w 2 punktach i to są nasze rozwiązania.
    Wystarczy z równania #8 podstawić:

    V2 = 1/6 - V1 ; do równania #7 ; aby dostać równanie kwadratowe:

    V1 * ( 1/6 - V1) = 1 / 192 ; i po niezbędnej "kosmetyce" daje to:
    32 V1 - 192 V1^2 = 1 ; stąd [ znaczek ^2 to "do kwadratu" ]
    192 V1^2 - 32 V1 + 1 = 0 <--------------- nasze równanie kwadratowe na V1

    Jego rozwiązania to właśnie 1/24 i 1/8. Po odjęciu tego od 1/6 mamy 1/8 i 1/24.
    Stąd są liczby, które podałem w rozwiązaniu.
    =========================================

    Pieseczku, pisz na priv, jeśli to niejasne, starałem się objaśnić :)

    Załączniki

Rozwiązania

Podobne zadania

mariusz92 Między liczbami -4 i 50 wstaw dwie tak aby trzy pierwsze tworzyły ciąg Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: mariusz92 28.3.2010 (19:49)
maniek1212 Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze 41* poprowadzono dwie Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: maniek1212 14.5.2010 (16:14)
inka91 Dane są dwie funkcje: (x)=2x+4 dla Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: inka91 18.5.2010 (11:57)
inka91 DANE SA DWIE FUNKCJE; (X)=2X+4 DLA Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: inka91 19.5.2010 (12:49)
carizma czy istnieje tg a gdy cos a =1/2 (jedna druga) a ,sin a =2/3 (dwie trzecie) Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: carizma 17.6.2010 (14:07)

Podobne materiały

Przydatność 60% Pompy

POMPA [franc. < wł.], robocza maszyna transportowa do podnoszenia cieczy z poziomu niższego na wyższy, np. ze studni do zbiornika, albo do przetłaczania cieczy z obszaru o ciśnieniu niższym do obszaru o ciśnieniu wyższym, np. z otwartego zbiornika do kotła parowego; działanie pompy opiera się na wytwarzaniu różnicy ciśnień między stroną ssawną i stroną tłoczną ruchomego...

Przydatność 85% Pompy cieplne

Lodówki W lodówkach, zamrażarkach i urządzeniach klimatycznych wykorzystuje się zjawisko ochładzania się cieczy wskutek szybkiego parowania. Urządzenia te składają się z czterech podstawowych części: zbiornika substancji chłodzącej, dwóch wymienników ciepła (wewnętrznego i zewnętrznego) i sprężarki. Jako substancji chłodzącej do początku lat dziewięćdziesiątych...

Przydatność 80% Pompy Głębinowe

pompy głębinowe - są to pompy wirowe przeznaczone do pompowania wody z dużej głębokości; mają budowę przystosowaną do pracy w wodzie elementem roboczym jest najczęściej zespół szybko obracających się wirników łopatkowych zwiększających moment pędu (kręt) cieczy powodując efekt ssania we wlocie i nadwyżkę ciśnienia po stronie tłocznej pompy., powodujący wzrost...

Przydatność 65% Pompy Odśrodkowe

Pompa odśrodkowa - pompa wirowa krętna o wirniku odśrodkowym, i o pojedynczej lub przestrzennej krzywiźnie łopatek. Wirnik (1) (zwykle o poziomej osi obrotu) umieszczony jest w spiralnym korpusie (2). Dopływ cieczy (3) jest osiowy, zaś odpływ {4) promieniowy. Przepływ cieczy przez wirnik jest promieniowy. Rys. Pompa odśrodkowa. Pompy odśrodkowe są najczęściej stosowanymi...

Przydatność 50% Pompy śmigłowe

Pompa śmigłowa - pompa osiowa; pompa wirowa, w której przepływ cieczy odbywa się wzdłuż osi obrotu wirnika 1. Nad łopatkami wirnika, które mogą być stałe lub nastawne (podobnie jak w turbinie Kapłana), znajdują się kierownice wylotowe; odchylają one odpowiednio strumienie cieczy wytłaczane w górę przez wirnik. P. ś. są stosowane głównie jako pompy obiegowe oraz do...

0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji

Pierwszy raz?

Zapoznaj się z krótkim opisem jak sprawnie zdobywać punkty, sprawdź ile kosztuje dodanie zadania, itp. Zapoznaj się z możliwościami serwisu Zaliczaj.

Zaproś swoich znajomych

Zaproś swoich znajomych do serwisu. Im więcej osób zaprosić, tym więcej zdobędziesz punktów. Zarób nawet 100 punktów.