Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 7.2.2017 (15:21)

  [ Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", np: 3^2 = 9 ]
  
  Zadanie 7.
  Zamiast odległości możemy porównywać KWADRATY odległości bez obawy, że dostaniemy jakieś rozwiązania, które nie spełniają warunków zadania. Jest to spowodowane przez fakt, że odległości są liczbami nieujemnymi, a jeśli porównujemy ze sobą BEZWZGLĘDNE WARTOŚCI liczb "a" i "b" w taki sposób:
  
  | a| = | b | ; to poprawne są możliwości: a = b ; lub a = - b
  
  To samo możemy powiedzieć o liczbach spełniających równanie: a^2 = b^2.
  Wobec tego podnoszenie do kwadratu jest tutaj "niegroźne", nic niepotrzebnego nie wprowadza. Ale UWAŻAJ z tym w zadaniach innego typu :)
  
  W załączniku masz dowód, twierdzenia, że szukanymi zbiorami będą okręgi.
  Po "zwykłym" rozwiązaniu tego zadania pokazuję metodę z użyciem w/w twierdzenia.
  ========================
  
  a)
  Punkt należący do szukanego zbioru zapisujemy jako P(x,y).
  Kwadraty odległości punktu P od A i od B z twierdzenia Pitagorasa mają postać:
  
  odległość | PA |^2 = (x - 6)^2 + (y - 0)^2
  odległość | PB |^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2
  
  Z zadania wynika, że | PA |^2 = 4 * | PB |^2 czyli, po pominięciu zer:
  
  (x - 6)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2)
  
  Wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na jedną stronę:
  3x^2 + 12x - 36 + 3y^2 = 0 ; dzielimy przez 3
  
  x^2 + 4x - 12 + y^2 = 0 <------------ to jest szukane równanie.
  
  Formalnie zapisujemy to w taki sposób: Zbiór Z to zbiór par (x,y)
  
  Z = { (x,y) : x^2 + 4x - 12 + y^2 = 0 gdzie x, y należą do R }
  ---------------------------------------
  
  Pokażemy, że jest to okrąg. Fragment "x^2 + 4x - 12" zapisujemy jako:
  x^2 + 4x - 12 = (x^2 + 4x + 2) - 16 = (x + 2)^2 - 16
  
  Równanie szukanego zbioru punktów ma więc postać: (x + 2)^2 + y^2 = 16
  a to jest równanie okręgu o środku w punkcie (-2; 0) i promieniu 4.
  ============================
  
  b)
  Postępujemy analogicznie jak w (a)
  
  odległość | PA |^2 = x^2 + (y - 4)^2
  odległość | PB |^2 = x^2 + (y - (-2))^2
  
  Z zadania wynika, że | PA |^2 = 4 * | PB |^2 czyli, po pominięciu zer:
  
  x^2 + (y - 4)^2 = 4 [ x^2 + (y + 2)^2 ]
  
  Wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na jedną stronę, dzielimy przez 3
  
  x^2 + 8y + y^2 = 0 <------------ to jest szukane równanie.
  ---------------------------------------
  
  Ponownie pokażemy, że jest to okrąg. Przepisujemy:
  y^2 + 8y = y^2 + 8y + 16 - 16 = (y + 4)^2 - 16 ; więc całe równanie to:
  
  x^2 + (y + 4)^2 = 16
  a to jest równanie okręgu o środku w punkcie (0; -4) i promieniu 4.
  ============================
  
  (c)
  odległość | PA |^2 = (x - 0)^2 + (y - (-6))^2
  odległość | PB |^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2
  
  Z zadania wynika, że | PA |^2 = 4 * | PB |^2 czyli, po pominięciu zer:
  
  x^2 + (y + 6)^2 = 4 [ x^2 + (y - 6)^2 ]
  
  Wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na jedną stronę, dzielimy przez 3
  
  x^2 + y^2 - 20y + 36 = 0 <------------ to jest szukane równanie.
  ---------------------------------------
  
  Ponownie pokażemy, że jest to okrąg. Przepisujemy:
  y^2 - 20y + 36 = (y - 10)^2 - 64 ; więc całe równanie to:
  
  x^2 + (y - 10)^2 = 64
  a to jest równanie okręgu o środku w punkcie (0; 10) i promieniu 8.
  
  KONIEC ROZWIĄZANIA.
  =====================================================================
  
  Jeżeli użyjemy podanego w załączniku twierdzenia, że szukanymi zbiorami punktów
  są OKRĘGI, to dalsze rozwiązanie jest bardzo krótkie:
  
  a)
  Środek okręgu leży na osi OX, bo współrzędne Y punktów A i B są zerami.
  Szukamy na osi OX punktów przecięcia okręgu z tą osią, takich,
  że odległość |PA| = 2 |PB|. Musi być spełniony warunek:
  
  | x - 6 | = 2 | x - 0 |
  
  Jest to spełnione dla punktów: x1 = - 6 oraz x2 = 2.
  Środek okręgu leży w środku odcinka x1, x2 czyli ma wsp. x = - 2.
  Promień okręgu wynosi 2 - (-2) = 4 ; więc równanie okręgu to:
  (x + 2)^2 + y^2 = 16
  
  b)
  Środek okręgu leży na osi OY. Z odległości dostajemy:
  | y - 4 | = 2 | y + 2 | ; rozwiązaniami są: y1 = -8, y2 = 0.
  Środek okręgu leży więc w punkcie (0; - 4) ; a promień okręgu = 4.
  Równanie takiego okręgu: x^2 + (y + 4)^2 = 16
  
  c)
  Środek okręgu leży na osi OY. Z odległości dostajemy:
  | y + 6 | = 2 | y - 6 | ; stąd: y1 = 2 ; y2 = 18.
  Środek okręgu: (2 + 18) / 2 = 10 ; promień = 18 - 10 = 8.
  Równanie takiego okręgu: x^2 + (y - 10)^2 = 64
  
  Pisałem, że prościej ??? Tylko trzeba "przeżuć się " przez dowód w załączniku.
  ==================================

  Załączniki

  • punkty_dowod.pdf (48 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 7.2.2017 (15:41)

    W tym pliku PDF są jakieś drobne błędy, ale idea dowodu jest poprawna :)
    Gdzieś się machnąłem w przekształceniu wynikowego równania na równanie okręgu, tam powinno być w pewnym momencie :
    k / pierwiastek(k^2 - 1) i NIE MA tych kwadratów z k^2 / (k^2 - 1)
    
    Nie mogę już poprawiać - upłynął limit czasu na poprawki. Nie musisz czytać tego pliku, ale ciekawe są wnioski z dowodu - jak ułatwia on rozwiązanie zadania.