Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 15.1.2017 (23:28)

  Zadanie 1.
  Amplituda zależy od czasu w/g wzoru:
  
  A(t) = A0 e ^ ( - k t )
  
  Po kolejnym cyklu mającym okres T amplituda wynosi:
  
  A(t + T) = A0 e ^ ( - k t - k T ) = A(t) e ^ (- k T)
  
  Ma to stanowić 100% - 3% = 97% poprzedniej amplitudy, czyli czynnik e ^ (- k T) = 0,97.
  
  Energia E(t) oscylatora zależy od kwadratu amplitudy. "C" jest stałą proporcjonalności:
  
  E(t) = C * A^2(t) ; a po upływie jednego okresu: E(t + T) = C * A^2(t + T)
  
  Uwzględniamy poprzednią zależność amplitud i mamy:
  
  E(t + T) = C * [ A(t) e ^ (- k T) ]^2 = C * A^2(t) * [ e ^ (-k T) ]^2 = E(t) * [ e ^ (-k T) ]^2
  
  Znamy już wartość czynnika e ^ (- k T) = 0,97. Wynika stąd, że:
  
  E(t + T) = 0,97 ^ 2 * E(t) = 0.9409 E(t) czyli 94,09% = około 94%
  
  Podczas jednego okresu tracone jest około 6% energii mechanicznej.
  -----------------------
  
  Inny (szybszy) sposób rozwiązania tego zadania oparty na rachunku błędów.
  Możemy uznać te 3% jako błąd względny amplitudy; delta_A / A = 3%.
  
  Ponieważ energia E = C * A^2 to ze wzoru na błąd delta_E :
  (dE / dA oznacza pochodną E po A)
  
  delta_E / E = (dE / dA) * delta_A / E = 2 C * A / ( C A^2) * delta_A = 2 * delta_A / A
  
  czyli "błąd względny" energii jest dwukrotnie większy od "błędu względnego" amplitudy,
  czyli wynosi 6%.
  =================================================
  
  Zadanie 2.
  "Logarytmiczny dekrement tłumienia" lambda to logarytm ze stosunku amplitud w kolejnych okresach drgań. Dokładniej:
  
  lambda = ln [ A(t) / A(t + T) ]
  
  W tym zadaniu lambda = 0,01 czyli A(t) / A(t + T) = e ^ 0,01 ; czyli inaczej:
  
  A(n+1) = A(n) * e ^ ( - 0,01) ; gdzie n oznacza numer kolejnego "drgnięcia", n = 1,2,3....
  
  Jak widzisz kolejne amplitudy tworzą ciąg geometryczny.
  Pierwszy jego wyraz wynosi A(1), iloraz to e ^ ( - 0,01) = około 0,99.
  
  Zrobię teraz małe przybliżenie. Na końcu rozwiązania policzymy dokładnie, jaki robimy błąd.
  Zakładamy (i to jest to przybliżenie), że amplituda A(1) jest stała w czasie pierwszego okresu,
  następnie skokowo maleje do A(2) i pozostaje stała w ciągu drugiego okresu itd.
  
  Wtedy w ciągu pierwszego okresu cząstka przebywa drogę 4A(1), następnie drogę 4A(2) itd.
  Po nieskończonej ilości okresów - czyli do chwili zatrzymania się - droga cząstki wynosi:
  
  s = 4 [ A(1) + A(2) + .... ] = 4 A(1) * [ 1 + 0,99 + 0,99^2 + .... ]
  
  Suma w nawiasach [ ... ] to suma ciągu geometrycznego, wynosząca:
  
  1 / (1 - 0,99) = 100
  
  Cała droga s = 5 m ; więc: 5 = 4 A(1) * 100 ; stąd: A(1) = 5 / 400 = 0,0125 m
  ---------------------
  
  Droga po 10, 100, 1000 pełnych drgań wyniesie odpowiednio:
  
  s(10) = 4 A(1) * (suma_pierwszych_10_wyrazów_ciągu) =
  = 4 * A(1) * ( 1 - 0,99^10 ) / (1 - 0,99) = około 0,478 m
  
  s(100) = 4 * A(1) * (1 - 0,99^100) / (1 - 0,99) = około 3,17 m
  
  s(1000) = 4 * A(1) * (1 - 0,99^1000) / (1 - 0,99) = około 4,9998 m
  czyli już prawie pełne 5 metrów.
  Koniec rozwiązania. W razie pytań pisz proszę na priv.
  =================================================
  
  Zastanówmy się, jaki błąd robimy stosując opisane przybliżenie.
  Cząstka wyła puszczona z pozycji maksymalnego wychylenia.
  Ponieważ amplituda maleje bardzo wolno robimy kolejne przybliżenie,
  ale już dokładniejsze:
  
  Wielkość e^ ( - 0,01 t) przybliżamy przez 1 - 0,01 t
  Czyli po POŁOWIE okresu T amplituda zmaleje do 0,995 A(1).
  Cząstka przebędzie drogę: A(1) do chwili powrotu do położenia równowagi,
  2 * 0,995 A(1) do maksymalnego wychylenia w drugą stronę
  0,99 A(1) do ponownego maksymalnego wychylenia.
  
  Razem: A(1) * (1 + 2 * 0,995 + 0,99) = 3,98 A(1) [ zamiast 4 A(1) ].
  
  Drogę w czasie jednego okresu zawyżyliśmy więc o (4 - 3,98) / 4 = 0,5%
  Taki sam błąd popełniamy przy obliczaniu A(1).
  Dokładniejsza wartość to:
  A(1) = 5 / (3,98 * 100) = 0.0125628 m [ zamiast 0,0125000 m ]
  Błąd: 0.0125628 - 0,0125) / 0,0125 = 0,5%.
  
  Z takim samum błędem obliczamy s(10), S(100), s(1000).
  ------------------------------
  
  Na koniec policzmy drogę w ciągu pierwszego okresu DOKŁADNIE.
  [ ale zaraz się przekonasz, że te poprawki są kompletnie do pominięcia ]
  
  Przyjmijmy, że okres drgań T = 1 s.
  Mamy:
  
  x(t) = A(1) e ^ ( - 0,01 t ) * cos (2pi t)
  
  Pierwszy odcinek (od maksymalnego wychylenia do przejścia przez położenie równowagi)
  gdy cos (2 pi t) = 0 droga cząstki wynosi oczywiście A(1). Potrzebny czas to 0,25 s.
  
  Położenie równowagi w przeciwnym kierunku cząstka osiągnie NIE po czasie 0,5 s
  ale wtedy, gdy dx / dt = 0. Obliczyłem to i wychodzi: czas t = 0,499747
  Położenie cząstki po tym czasie to - 0,995014 A(1), czyli o 0,000014 różne od 0,995.
  
  Kolejne położenie równowagi cząstka osiągnie w czasie t = 0,999747
  a jej położenie to 0,990051 A(1), czyli o 0,000051 różne od 0,99
  
  Całkowita drogaw czasie pierwszego okresu:
  A(1) * (1 + 2 * 0,995014 + 0,990051) = 3,98008 A(1)
  Wniosek, ze poprawki na dokładne obliczenia to kolejne niecałe 1% z 0,5%
  czyli 0,00005. Zupełnie do pominięcia.
  =============================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie