Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.1.2017 (01:01)

  1.
  Amplituda takiego oscylatora opisywana jest zależnością:
  
  A(t) = A0 * e ^ ( - k t) ; gdzie e - podstawa log. naturalnych, k - pewna stała.
  
  Po 5 min = 300 s bylo A(300) = (1/2) A0 więc:
  
  e ^ ( - 300 k) = 1 / 2 ; stąd po zlogarytmowaniu: 300 k = ln(2) czyli k = ln(2) / 300.
  
  Mamy więc:
  
  A(t) / A0 = e ^ [ - ln(2) * t / 300 ] = e ^ [ - ln(2) ] ^ (t / 300) = (1/2) ^ ( t / 300)
  
  Wstawiamy t = 110. A(110) / A0 = (1/2) ^ (110 / 300) = około 0,76
  =======================================
  
  2.
  Ten sam wzór co w zadaniu (1). Znamy A0 = 3 oraz A(5) = 1 ; czyli
  
  A(300) / A0 = e ^ ( - 5 k) = 1 / 3 ; stąd: k = ln(3) / 5 ; czyli :
  
  A(t) / A0 = (1 / 3) ^ ( t / 5)
  
  Szukamy czasu t dla którego A(t) / A0 = 0,5 / 3 = 1 / 6.
  
  1 / 6 = (1 / 3) ^ (t / 5) ; logarytmujemy logarytmem o podstawie 3
  
  log_3 (1/6) = - t / 5 ; stąd: t = 5 * log_3 (6) = około 8,15 s
  =======================================
  
  3.
  Tutaj zastosujemy "pełny" wzór na wychylenie x(t) oscylatora:
  
  x(t) = A0 * e ^ (- k t) sin (w t + fi) ; gdzie:
  
  A0 - amplituda początkowa, k - tłumienie, w - częstość kołowa, fi - faza [ w zadaniu: "gamma" ]
  
  Z danych zadania wiemy, że częstotliwość drgań f = 15 / 12 Hz czyli częstość kołowa:
  w = 2 pi f = 2 pi * (15 / 12) = (5/2) pi
  
  Stosunek A(t) / A0 = e ^ (-k t) ; czyli e^ (-12 k) = 1 / 1,2 ; stąd:
  ln (1 / 1,2) = - 12k ; czyli k = ln (1,2) / 12
  
  Wzór na x(t) ma więc postać:
  
  x(t) = A0 * (1,2) ^ (- t / 12) * sin [ (5/2) pi t + fi ]
  
  W chwili t = 0 jest: x(0) = A0 * sin [ fi ]
  
  Pochodna x(t) po czasie daje prędkość:
  
  v(t) = A0 e ^ ( - k t) * [ w cos( w t + fi) - k sin (w t + fi) ] ; w chwili t = 0 zostaje z tego:
  
  v(0) = A0 [ w cos(fi) - k sin(fi) ]
  [ wymiar się zgadza, bo w i k mają wymiar 1 / s ; A0 ma wymiar cm, więc v ma wymiar cm/s ]
  
  i po podstawieniu k, w obliczonych poprzednio:
  
  v(0) = A0 [ (5/2) pi * sin (fi) - ln(1,2) / 12 * cos(fi) ]
  
  Wartości x(0) i v(0) znamy. Dzielimy v(0) / x(0). Skraca się A0 i zostaje:
  
  v(0) / x(0) = -10 / 15 = - ln(1,2) / 12 + (5/2) pi * ctg(fi) ; stąd:
  ctg(fi) = około - 0,083 czyli fi = około - 1,49 <--------- to jest faza gamma w radianach.
  
  Ze wzoru: x(0) = A0 sin(fi) obliczamy
  A0 = | 15 / sin(-1,49) | = około 15 cm ; początkowa faza była prawie równa - pi/2
  UWAGA ! Przy amplitudzie pomijamy znak minus, ale:
  x(0) = x0 / sin(-1,49) = 15 daje x0 = około MINUS 15
  ---------------------------------
  
  Obliczamy A(t) i x(t) po czasie 20 s
  A(20) = 15 * (1,2) ^ (-20 / 12) = około 11 cm.
  x(20) = - 15 * (1,2) ^ (-20 / 12) * sin [ (5/2) pi * 20 - 1,49 ] = około 11 cm.
  
  Po tych 20 sekundach oscylator wykonał 20 * (12 /15) = 16 pełnych drgań.
  Skoro zaczynał od prawie maksymalnego wychylenia to będzie w podobnej pozycji też po 20s.
  Prędkość v(0) = - 10 cm/s przy prawie maksymalnym wychyleniu niech Cię nie dziwi,
  największa maksymalna prędkość tego oscylatora to około 120 cm/s, więc 10 cm/s to prawie spoczynek.
  
  Przepraszam, jeśli się pomyliłem w rachunkach. Starałem się sprawdzać obliczenia
  używając programu do symbolicznych rachunków.
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  =======================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie