Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 14.1.2017 (23:27)

  Obszar badania jest ograniczony osią y = 0 i parabolą y = 2 - x^2.
  W załączniku jest rysunek przedstawiający wygląd f(x,y) w przedziale:
  - pierwiastek(2) < x < pierwiastek(2) oraz 0 < y < 2.
  
  Mogą zachodzić dwie sytuacje:
  
  A)
  Funkcja przyjmuje ekstremalne wartości na brzegu badanego obszaru.
  B)
  Funkcja przyjmuje ekstremalne wartości wewnątrz tego obszaru.
  -------------------------------------------------------
  
  Zbadajmy najpierw przypadek A.
  
  Dla brzegu y = 0 mamy:
  
  f(x,0) = x^4
  Wartość minimalna f(x,0) wynosi f(0,0) = 0.
  Wartość maksymalna (tam, gdzie parabola przecina oś OX)
  f [ 0, +/- pierwiastek(2) ] = 2^2 = 4.
  
  Dla brzegu y = 2 - x^2 czyli x^2 = 2 - y . Mamy wtedy:
  
  f(brzeg) = (2 - y)^2 - 2y(2 - y) + 4y = 3y^2 - 4y + 4
  Wartość minimalna dla y = 4/6 oraz x^2 = 2 - 4/6 wynosi f(4/3, 2/3) = 244/81 = około 3.
  Wartość maksymalna dla y = 2 oraz x = 2 - 2 = 0 wynosi f(0,2) = 4
  
  Czyli na brzegu minimalna wartość f(x,y) to zero, maksymalna to 4.
  -------------------------------------------------------
  
  Przypadek B.
  Liczymy pierwsze pochodne [ "d" oznacza pochodną cząstkową ]
  
  df / dx = 4x^3 - 4xy = 4x (x^2 - y) = 0 ; Albo x = 0 ; albo y = x^2
  
  df / dy = -2y - 2x^2 + 4 = 0
  
  Jeżeli x = 0 to -2y + 4 = 0 czyli y = 2. Punkt podejrzany o bycie ekstremum: (0; 2)
  Wartość funkcji w tym punkcie już się pojawiła w części (A) i wynosi
  f(0,2) = 4.
  
  Jeśli y = x^2 to: -2y - 2y + 4 = 0 czyli y = 1 oraz x = -1 lub 1.
  Punkty podejrzane o bycie ekstremum: (-1,1) i (1,1)
  Wartości funkcji w tych punktach:
  f(-1,1) = f(1,1) = 2. Odpada w porównaniu z wynikami analizy (A).
  
  NIE MA SENSU sprawdzać, czy faktycznie są to ekstrema, czy siodła f(x,y),
  bo interesują nas wartości funkcji, a nie jej zachowanie.
  -------------------------------------------------------
  
  Z powyższego wynika, że funkcja osiąga wartość najmniejszą dla f(0,0) = 0
  oraz największą dla f(0,2) = f [ - pierwiastek(2) ] = f [ pierwiastek(2) ] = 4
  ==========================================
  
  Można dla ciekawości sprawdzić gdzie leżą ekstrema f(x,y).
  Drugie pochodne to:
  d^2 f / dx^2 = 12 x^2 - 4y
  d^2 f / dy^2 = -2
  d^2 f / dxdy = -4x
  Wyznacznik macierzy drugich pochodnych:
  D^2 f = -2 (12x^2 - 4y) - (4x)^2 = 8y - 40x^2.
  
  W punktach (-1,1) i (1,1) wychodzi D^2 f = - 32 ; więc nie jest to ekstremum lecz siodło.
  W punkcie (0,2) jest D^2 f = 16. Ponieważ wtedy d^2 f / dx^2 = -8 < 0
  to jest to maksimum lokalne f(x,y).
  ===========================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres3d.pdf (74 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie