Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 16.10.2016 (12:06)

  [ Czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi". Np: 2^3 = 8 ]
  
  Zadanie 2.
  a)
  Rozwiązujemy nierówność: 13 - 3n > 0 ; stąd: 3n < 13 ; czyli n < 13/3.
  Liczba 13/3 = 4 i 1/3 więc dodatnie są cztery pierwsze wyrazy ciągu.
  Ponieważ ciąg jest malejący to największym wyrazem jest:
  a1 = 13 - 3 * 1 = 10
  
  b)
  Rozwiązujemy nierówność: 16 / n - 2 > 0 ; stąd: 16 / n > 2 ; stąd:
  16 > 2n ; czyli
  n < 8
  Dodatnich jest siedem pierwszych wyrazów ciągu.
  Ponieważ ciąg jest malejący to największym wyrazem jest:
  a1 = 16/1 - 2 = 14
  
  c)
  Rozwiązujemy nierówność: (2 + n)(6 - n) > 0.
  Dla n > 0 pierwszy nawias jest zawsze dodatni więc musi być 6 - n > 0 ; stąd:
  n < 6
  Dodatnich jest pięc pierwszych wyrazów ciągu.
  Teraz UWAGA! Ciąg na początku rośnie, potem maleje
  (bo jest to funkcja kwadratowa mająca maksimum).
  Najprościej będzie po prostu policzyć kolejne wyrazy:
  a1 = (1/2)(2 + 1)(6 - 1) = 15/2
  a2 = (1/2)(2 + 2)(6 - 2) = 8
  a3 = (1/2)(2 + 3)(6 - 3) = 15/2
  ...
  Widać, że największym wyrazem jest a2 = 8
  =========================
  
  Zadanie 6.
  [ czytaj log_2 (x) jako "logarytm o podstawie 2 z liczby x" ]
  
  Z działań na logarytmach wynika, że:
  log_2 (2 * 3^n) = log_2 (2) + log_2 (3^n) = 1 + n * log_2 (3)
  Czyli wyraz a(n) ciągu zapisujemy jako:
  a(n) = 1 + n * log_2 (3) ; a wyraz a(n+1) jako:
  a(n) = 1 + (n+1) * log_2 (3)
  
  Różnica "r" ciągu to a(n+1) - a(n). Liczymy:
  a(n+1) - a(n) = [ 1 + (n+1) * log_2 (3) ] - [ 1 + n * log_2 (3) ] = log_2(3)
  
  Pierwszy wyraz dla n = 1
  a1 = 1 + 1 * log_2 (3) = 1 + log_2 (3)
  =========================
  
  Zadanie 12.
  Wykorzystujemy informację, że każdy kolejny bok jest o 3 dłuższy od poprzedniego.
  Oznaczmy długości a, b, c tych boków jako: a = x; b = x+3; c = x+6.
  Pole P powierzchni całkowitej wynosi:
  P = 2ab + 2ac + 2bc ; wstawiamy wyrażenia na a, b, c
  P = 2x(x+3) + 2x(x+6) + 2(x+3)(x+6) ; wymnażamy, upraszczamy i mamy:
  P = 6x^2 + 36x + 36 ; i ma się to równać 132 ; stąd:
  6x^2 + 36x + 36 = 132 ; stąd:
  6x^2 + 36x - 96 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe i dostajemy:
  x1 = -8 ; odrzucamy bo x1 < 0
  x2 = 2
  Najkrótszy bok ma długość 2, a kolejne boki długości 2+3 = 5 i 2+6 = 8.
  Objętość V = 2 * 5 * 8 = 80
  =========================
  
  Zadanie 13.
  Oznaczmy długości boków (od najkrótszego) przez a, b, c.
  Wiemy, że b = a + r oraz c = a + 2r. "c" to przeciwprostokątna.
  Pole P trójkąta można obliczyć na dwa sposoby:
  1: iloczyn przyprostokątnych: P = (1/2) ab = (1/2) a (a + r)
  2: iloczyn obwodu i promienia okręgu wpisanego R
  P = (1/2)(a + b + c) R = (1/2)(a + a + r + a + 2r) R = (3/2)(a + r) R
  Pole obliczone obydwoma sposobami musi dać to samo więc:
  (1/2) a (a + r) = (3/2)(a + r) R ; stąd po skróceniu a+r
  3R = a ; stąd:
  R = a / 3
  
  Nie znamy długości boku "a". Ale użyjemy tw. Pitagorasa:
  a^2 + b^2 = c^2 ; czyli
  a^2 + (a + r)^2 = (a + 2r)^2 ; stąd po wymnożeniu i uproszczeniu:
  a^2 - 2ar - 3r^2 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe ze względu na "a"
  a1 = -r ; odrzucamy bo a1 < 0
  a2 = 3r
  
  Wobec tego R = 3r / 3 = r
  Długość promienia okręgu wpisanego R jest równa różnicy ciągu r
  =========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie