Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 11.9.2016 (08:49)

  Zadanie 3.
  W prawie wszystkich przykładach mnożymy i dzielimy wyrażenie pod granicą przez takie samo wyrażenie z przeciwnym znakiem.
  
  a)
  [ pierw(x^2 + x) - pierw(x^2 + 1) ] * [ pierw(x^2 + x) + pierw(x^2 + 1) ]
  = ----------------------------------------------
  [ pierw(x^2 + x) + pierw(x^2 + 1) ]
  
  = [ x^2 + x - x^2 + 1 ] / [ pierw(x^2 + x) + pierw(x^2 + 1) ] =
  
  = [ x + 1 ] / [ pierw(x^2 + x) + pierw(x^2 + 1) ] = ; dzielimy licznik i mianownik przez x
  
  = [ 1 + 1/x ] / [ pierw(1 + 1/x) + pierw(1 + 1/x^2) ]
  
  Wyrazy 1/x oraz 1/x^2 dążą do zera gdy x-->+oo
  i całe wyrażenie dąży do 1 / 2
  =======================================
  
  b)
  [ pierw(9x - 2) - 3 pierw(x - 1) ] * [ pierw(9x - 2) + 3 pierw(x - 1) ]
  = -------------------------------------------
  [ pierw(9x - 2) + 3 pierw(x - 1) ]
  
  = [ 9x - 2 - 9x + 9 ] / [ pierw(9x - 2) + 3 pierw(x - 1) ] =
  
  = [ 7 ] / [ pierw(9x - 2) + 3 pierw(x - 1) ]
  
  Mianownik dąży do +oo i całe wyrażenie dąży do 0
  =======================================
  
  c)
  [ x - pierw(x^2 + 8x - 2 ] * [ x + pierw(x^2 + 8x - 2 ]
  = -------------------------------
  [ x + pierw(x^2 + 8x - 2 ]
  
  = [ x^2 - x^2 - 8x + 2 ] / [ x + pierw(x^2 + 8x - 2 ] =
  
  = [ -8x + 2 ] / [ x + pierw(x^2 + 8x - 2 ] = ; dzielimy licznik i mianownik przez "x"
  
  = [ -8 + 2/x ] / [ 1 + pierw(1 + 8/x - 2/x^2 ]
  
  Wyrazy 2/x, 8/x i 2/x^2 dążą do zera. Całość dąży do - 4
  =======================================
  
  d)
  Oba składniki sumy dążą do +oo i granicą jest +oo
  =======================================
  
  e)
  [ pierw(x^2 + 2) - pierw(x^2 - 2x) ] * [ pierw(x^2 + 2) + pierw(x^2 - 2x) ]
  = ------------------------------------------
  [ pierw(x^2 + 2) + pierw(x^2 - 2x) ]
  
  = [ x^2 + 2 - x^2 + 2x ] / [ pierw(x^2 + 2) + pierw(x^2 - 2x) ] =
  
  [ 2x + 2 ] / [ pierw(x^2 + 2) + pierw(x^2 - 2x) ] =
  
  = MINUS (2 + 2/x) / [ pierw(1 + 2/x^2) + pierw(1 - 2/x) ]
  
  Uwaga na znak ! Gdy x --> - oo to licznik jest ujemny, mianownik dodatni,
  dlatego granicą całego wyrażenia jest minus 1.
  =======================================
  
  f)
  [ pierw(e^x - 1) - pierw(e^x + 1) ] * [ pierw(e^x - 1) + pierw(e^x + 1) ]
  = ------------------------------------------
  [ pierw(e^x - 1) + pierw(e^x + 1) ]
  
  = [ e^2 - 1 - e^x - 1 ] / [ pierw(e^x - 1) + pierw(e^x + 1) ] =
  
  = -2 / [ pierw(e^x - 1) + pierw(e^x + 1) ]
  
  Mianownik dąży do +oo i całe wyrażenie dąży do 0
  =======================================
  
  g)
  [ x + pierw(x^2 + x + 1 ] / [ x - pierw(x^2 + x + 1 ]
  = --------------------------------
  [ x - pierw(x^2 + x + 1 ]
  
  = [ x^2 - x^2 - x - 1 ] / [ x - pierw(x^2 + x + 1 ] =
  
  = MINUS [ x + 1 ] / [ x - pierw(x^2 + x + 1 ]
  
  = MINUS [ 1 + 1/x ] / [ 1 - pierw(1 + 1/x + 1/x^2 ]
  
  Gdy x --> minus oo dostajemy trzy znaki minus: licznik jest ujemny, mianownik też gdyż przed pierwiastkiem jest minus a sam pierwiastek bierzemy z plusem. Trzeci minus wynika z zmiany -x - 1 na - (x+1).
  W rezultacie granicą jest minus 1 / 2
  =======================================
  
  h)
  Tutaj troszkę inaczej: Używamy tożsamości:
  (a - b) * (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
  czyli mnożymy i dzielimy przez wyrażenie:
  pierw_3(x+1)^2 + pierw_3[x(x+1)] + pierw_3(x^2)
  
  W liczniku zostaje tylko x+1 - x = 1,
  a mianownik jest nieskończony więc granicą jest 0
  =======================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie