Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 8.9.2016 (09:09)

  Przenosimy 8abc na lewą stronę. Mamy do udowodnienia:
  
  (a+b)*(b+c)*(c+a) - 8abc > 0
  
  Zastępujemy: a = c + A oraz b = c + B, gdzie A > 0, B > 0 oraz A > B
  Jest to uzasadnione ponieważ a > b > c
  
  Mamy do udowodnienia:
  
  (2c + A + B)*(2c + B)*(2c + A) - 8c(c+A)(c+B) > 0
  
  [ Dalej czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", ^3 jako "do sześcianu" ]
  Wymnażamy wszystko, skracamy, co się da.
  Do udowodnienia mamy teraz:
  
  2cB^2 - 2cAB + BA^2 + 2cA^2 + AB^2 > 0 [ nierówność (1) , patrz dalej ]
  
  Grupujemy wyrazy w taki sposób:
  
  ( 2cB^2 - 2cAB + 2cA^2 ) + ( BA^2 + AB^2 ) > 0
  
  Można to zapisać jako:
  
  2c (B^2 - AB + B^2) + AB (A + B) > 0
  
  Wyrażenie AB(A+B) jest dodatnie gdyż A i B są dodatnie.
  Wyrażenie (B^2 - AB + B^2) jest dodatnie gdyż:
  
  B^2 - AB + B^2 > B^2 - 2AB + B^2, a prawa strona = (B - A)^2
  
  ===============================
  
  Teraz dowodzimy "od końca" :
  
  Wiemy, że (B - A)^2 >= 0 dla dodatnich A, B, stąd po dodaniu iloczynu AB :
  (B - A)^2 + AB > 0 czyli też
  2c (B^2 - AB + B^2) + AB (A + B) > 0
  
  Ale ta nierówność jest równoważna [ nierówność (1) ],
  a z [ nierówność (1) ] dostajemy wyrażenie:
  (2c + A + B)*(2c + B)*(2c + A) - 8c(c+A)(c+B) > 0
  
  które po podstawieniu A = a - c oraz B = b - c przechodzi w
  (a+b)*(b+c)*(c+a) - 8abc > 0
  
  a to dowodzi nierówności (a+b)*(b+c)*(c+a) > 8abc

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie