Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.8.2016 (11:41)

  Zadanie 16.
  Ilość zdarzeń elementarnych: Losujemy dwie liczby ze zbioru {1;...6}. Powtórzenia są dozwolone, kolejność JEST istotna, są to więc wariacje z powtórzeniami 2 z 6. Ich ilość wynosi:
  
  m(Omega) = 6 * 6 = 36
  
  a)
  Zdarzenia sprzyjające to pary (1; a), (a ; 1) gdzie a = 2; 3; 4; 5; 6; [ 10 zdarzeń ]
  i zdarzenie (1; 1). Razem 11 zdarzeń czyli m(A) = 11
  Prawdopodobieństwo p(A) = m(A) / m(Omega) = 11 / 36
  
  b)
  Zdarzenia sprzyjające to pary (a; a) gdzie a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; [ 6 zdarzeń ].
  m(B) = 6.
  Prawdopodobieństwo p(B) = m(B) / m(Omega) =6 / 36 = 1 / 6
  
  c)
  Zdarzenia sprzyjające to pary (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6)
  m(C) = 4.
  Prawdopodobieństwo p(C) = m(C) / m(Omega) =4 / 36 = 1 / 9
  
  d)
  Zdarzenia sprzyjające to pary (1; 3), (3; 1), (2; 2)
  m(D) = 3.
  Prawdopodobieństwo p(D) = m(D) / m(Omega) =3 / 36 = 1 / 12
  
  e)
  Zdarzenia C1 sprzyjające sumie równej 5 to pary
  (1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2) czyli m(C1) = 4.
  Zdarzenia C2 sprzyjające sumie równej 10 to pary
  (6; 4), (4; 6), (5; 5) czyli m(C2) = 3.
  Bardziej prawdopodobna jest suma oczek równa 5
  
  f)
  Najmniejsza możliwa suma oczek to 2, realizowane przez parę 1 + 1
  Największa możliwa suma oczek to 12, realizowane przez parę 6 + 6
  Spodziewamy się, że najbardziej prawdopodobna liczba oczek to średnia liczb 2 i 12
  czyli (2 + 12) / 2 = 7.
  
  Formalnie można to uzasadnić tak:
  W jednym rzucie "nadzieja matematyczna" czyli średnia ilość oczek to
  E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) * (1/6) = 3,5
  Rzuty są niezależne od siebie więc dla dwóch rzutów dostajemy:
  E(2X) = 2 * E(X) = 2 * 3,5 = 7.
  
  Faktycznie, suma równa 7 realizuje się aż na 6 sposobów:
  7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1
  Sąsiednie sumy realizują się już tylko na 5 sposobów:
  6 = 1+5 = 2+4 = 3+3 = 4+2 = 5+1
  8 = 2+6 = 3+5 = 4+4 = 5+3 = 6+2
  Sumy równe 5 lub 9 realizują się na 4 sposoby, sumy 4 lub 10 na 3 sposoby,
  sumy 3 lub 11 na 2 sposoby i sumy 2 lub 12 na 2 sposoby.
  Razem jest: 6 + 2 * (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 36. Tyle co możliwych par.
  
  g)
  Zdarzenia sprzyjające to pary (1; 3), (2; 4), (3;5), (4;6) lub odwrotnie.
  m(G) = 8.
  Prawdopodobieństwo p(G) = m(G) / m(Omega) = 8 / 36 = 4 / 9
  
  h)
  NIE możemy postąpić tak, jak w punkcie (f) czyli odjąć nadziei matematycznych dostając 0,
  gdyż bierzemy pod uwagę wartość bezwzględną różnicy oczek,
  a to powoduje, że pary np. (1; 6) i (6;1) to dwa RÓŻNE wyniki, dające różnicę 5.
  
  Najmniejsza różnica równa zero realizowana przez 6 par:
  0 = 1 - 1 = 2 - 2 = ... = 6 - 6
  
  Różnica 1 jest realizowana przez pary:
  1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = 5 - 4 = 6 - 5 [ razem 10 wyników bo (1;2) i (2;1) dają różnicę 1 ]
  Różnica 2 jest realizowana przez pary:
  2 = 3 - 1 = 4 - 2 = 5 - 3 = 6 - 4 = 6 - 5 [ razem 8 wyników bo (1;3) i (3;1) dają różnicę 2 ]
  I tak dalej, różnica 3 jest realizowana na 6 sposobów, różnica 4 na 4 sposoby,
  różnica 5 na 2 sposoby.
  Razem jest to: 6 + 2 * (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 36. Tyle co możliwych par, jak w (f).
  
  Najbardziej prawdopodobną różnicą jest 1.
  
  Zauważ, że jest to sensowne:
  Dla różnicy = 1 mniejszą z liczb może być 1,2,3,4,5, większą - 2,3,4,5,6
  - najwięcej możliwości. Gdy różnica rośnie te zbiory możliwych liczb są coraz mniejsze.
  Różnica zero, która występowałaby najczęściej gdyby dopuścić ujemne różnice,
  nie sprawdza się, bo to tylko 6 przypadków.
  ===============================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie