Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 17.6.2016 (14:55)

  Kolejno:
  
  1)
  Określamy dziedzinę: Trzeba wykluczyć x = 1 aby nie było zera w mianowniku, więc:
  Dziedzina D = R / { 1 }
  
  2)
  Funkcja ma asymptotę pionową w x = 1.
  Po obu stronach punktu x = 1 funkcja dąży do plus nieskończoności, bo licznik i mianownik są zawsze dodatnie gdy x --> 1. Funkcja jest też zawsze > 0 z wyjątkiem punktu x = 0
  
  3)
  Miejsce zerowe: x = 0.
  
  4) Zobaczmy, co dzieje się w nieskończoności. Dzielimy licznik i mianownik przez x^2.
  
  f(x) = 1 / (1 - 1/x)^2
  
  W nieskończoności wyraz 1/x dąży do zera więc granicą funkcji w obu nieskończonościach jest y = 1. Funkcja ma asymptotę poziomą y = 1.
  
  5)
  Powyższe wnioski już z grubsza określają kształt funkcji - pewnie od +1 maleje do zera i potem rośnie do nieskończoności po lewej stronie linii x = 1, a po prawej stronie pewnie maleje do 1. Ale policzmy pochodną aby się przekonać.
  
  Pochodna: f ' (x) = [ 2x(x - 1)^2 - 2(x - 1)x^2 ] / (x - 1)^4 = - 2x / (x - 1)^3
  
  Dla x < 0 licznik i mianownik pochodnej są ujemne, ale jest znak minus przed ułamkiem więc pochodna jest ujemna. Podobnie jest dla x > 1. Dla x z przedziału (0; 1) pochodna jest dodatnia. Wiec:
  
  Funkcja jest malejąca dla x należy do ( - oo; 0 ) U (1; +oo)
  Funkcja jest rosnąca dla x należy do (0; 1)
  Funkcja ma minimum w x = 0
  
  6)
  Jeśli jest to zadanie ze studiów to policzmy jeszcze drugą pochodną:
  
  f ' ' (x) = (4x + 2) / (x - 1)^4
  
  Wynika z tego, że funkcja ma punkt przegięcia x = - 1 / 2
  A kiedy jest wklęsła, kiedy wypukła to nigdy nie wiem. W każdym razie druga pochodna jest ujemna dla x < -1/2 i dodatnia dla pozostałych x należących do dziedziny.
  
  7)
  Wykres masz w załączniku [ UWAGA: Skale na osiach są nieco inne ].
  Jakieś "tabelki przebiegu" itp. to nie wiem, jak się robi, nie jestem nauczycielem.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie