Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.6.2016 (15:18)

  Zadanie 4.
  
  Rysunek drzewka jest w załączniku.
  Zdarzenie elementarne to wybór ciągu (U;A;B), gdzie
  U - urna 1 lub 2; A, B - kula czerwona lub czarna.
  Można powiedzieć, że zdarzenie elementarne to iloczyn trzech kolejnych zdarzeń:
  - losowanie urny (pierwszy poziom drzewka)
  - A - losowanie pierwszej kuli z wybranej urny (drugi poziom drzewka)
  - B - losowanie drugiej kuli z wybranej urny (najniższy, trzeci poziom drzewka).
  
  W "metodzie drzewka" nie liczymy ilości zdarzeń elementarnych,
  ale prawdopodobieństwa, z jakimi realizują się jego gałęzie.
  
  Popatrz teraz na rysunek. Pierwszy poziom - wybór którejś urny - jest realizowany z jednakowym prawdopodobieństwem 1/2 gdyż wylosowanie na kostce liczb 1, 2 lub 3, albo 4, 5 lub 6 jest jednakowo prawdopodobne.
  
  Drugi poziom - zacznijmy od lewej strony. Pierwsza urna zawiera 5 kul czerwonych i 10 czarnych, razem 15 kul. Kulę czarną losujemy z prawdop. 10 / 15, a kulę czerwoną z prawdop. 5/15. Te liczby są wpisane na niebiesko obok gałęzi drzewka.
  Podobnie w drugiej urnie jest 5 czarnych i 8 czerwonych kul, razem 13, stąd prawdopodobieństwa 5/13 i 8/13.
  
  Trzeci poziom - też zacznijmy od lewej strony.
  Jeżeli za pierwszym razem wylosowana została kula czarna to w urnie wśród 14 kul jest tylko 9 czarnych, więc kolejną czarną losujemy z prawdop. 9/14, a czerwoną z prawd. 5/14 bo liczba czerwonych pozostała bez zmian.
  Jeśli za pierwszym razem wylosowana została czerwona kula to jest 4 czerwone i 10 czarnych, czyli kolejną czarną losujemy z prawd. 10/14, a czerwoną z prawd. 4/14.
  
  Takie samo rozumowanie przeprowadzamy w przypadku losowania z drugiej urny.
  --------------
  
  Idea "metody drzewka" polega na mnożeniu prawdopodobieństw zapisanych przy każdej gałęzi drzewka. Na przykład droga do wierzchołka najbardziej po lewej stronie prowadzi przez:
  - losowanie pierwszej urny, p = 1/2
  - losowanie pierwszej kuli czarnej, p = 10/15
  - losowanie drugiej kuli czarnej, p = 9/14
  Prawdopodobieństwo wystąpienia sekwencji: Pierwsza urna - czarna kula - czarna kula
  wynosi: (1/2) * (10/15) * (9/14)
  Tak samo liczymy prawdopodobieństwa wszystkich możliwych ośmiu sekwencji.
  Następnie dodajemy te wyniki mnożeń, które dają zdarzenie, o które chodziło w zadaniu.
  
  a) Kule różnego koloru. Sprzyjają nam takie sekwencje:
  - urna1 - czarna kula - czerwona kula. Wkład: (1/2) * (10/15) * (5/14)
  - urna1 - czerwona kula - czarna kula. Wkład: (1/2) * (5/15) * (10/14)
  - urna2 - czarna kula - czerwona kula. Wkład: (1/2) * (5/13) * (8/12)
  - urna2 - czerwona kula - czarna kula. Wkład: (1/2) * (8/13) * (5/12)
  Sumujemy:
  p = (1/2) * [ (10/15) * (5/14) + (5/15) * (10/14) + (5/13) * (8/12) + (8/13) * (5/12) ]
  p = 45 / 91
  
  b) Dwie kule czarne. Sekwencje sprzyjające:
  - urna1 - czarna kula - czarna kula. Wkład: (1/2) * (10/15) * (9/14)
  - urna2 - czarna kula - czarna kula. Wkład: (1/2) * (5/13) * (4/12)
  Sumujemy:
  p = (1/2) * [ (10/15) * (9/14) + (5/13) * (4/12) ]
  p = 76 / 273
  ===============================
  
  Muszę przyznać, ze metoda drzewka jest męcząca!
  Klasycznie rozwiązalibyśmy to licząc [ oznaczenie "a nad b" to symbol Newtona ]
  W przypadku (a)
  p = (1/2) * [ 10*5 / (15 nad 2) + 5*8 / (13 nad 2) ] = 76 / 273
  W przypadku (b)
  (1/2) * [ (10 nad 2) / (15 nad 2) + (5 nad 2) / (13 nad 2) ] = 45 / 91
  
  Oczywiście wyjdzie to samo, a o ile mniej pisania i komentarzy !
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  (metodę drzewka poznałem dopiero dziś, mam nadzieję, że poprawnie jej używam).

  Załączniki

  • prawd_drzewka1.pdf (126 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie