Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.6.2016 (09:37)

  Pewnie już po sprawdzianie, ale może się jeszcze przyda...
  Zadania z grupy A.
  
  Zad. 1.
  a)
  Do obliczenia tg x potrzebny będzie cos x. Liczymy go z "jedynki trygonometrycznej"
  
  \cos x = \sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{1-(-1/3)^2}=\sqrt{8/9}=\frac{2}{3}\sqrt{2}
  
  Kosinus ma znak plus bo kąt x należy do czwartej ćwiartki układu współrzędnych.
  Teraz możemy policzyć tangens:
  
  \mbox{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-1/3}{(2/3)\sqrt{2}}=\frac{-1}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{4}\sqrt{2}
  
  Całe wyrażenie:
  
  \mbox{tg}\,x - 2\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{4}-2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=-\frac{19}{12}\sqrt{2}
  
  b)
  Wiemy, że x należy do drugiej ćwiartki więc sin x jest dodatni.
  Wyrażenie sin(2x) = 2 sin x * cos x.
  Potrzebny jest sinus x , liczymy go z "jedynki trygonometrycznej"
  
  \sin x = \sqrt{1-\cos^2x}= \sqrt{1-(-1/5)^2}= \sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2}{5}\sqrt{6}
  
  Całe wyrażenie:
  
  \sin 2x = 2\sin x cos x = 2\cdot \frac{2}{5}\sqrt{6}\cdot\frac{-1}{5}=-\frac{4}{25}\sqrt{6}
  =====================================
  
  Zad. 2. [ czytaj proszę zapis ^2 jako "do kwadratu" ]
  Założenia:
  - w mianownikach nie może być zer więc:
  ctg x ma być różny od zera, czyli wykluczamy x = pi/2 + k * pi
  1 + ctg^2 x ma być różny od zera, czyli ctg x jest różny od 1 i od -1,
  czyli wykluczamy x = pi/4 + k * pi oraz x = 3 pi/4 + k * pi
  - ctg x ma być skończony, czyli wykluczamy x = k * pi.
  Jak narysujesz sobie wykluczone punkty (0; pi/4; pi/2; 3pi/4; pi; ...)
  to wychodzi, że wykluczamy wszystkie wielokrotności pi/4.
  Można więc dziedzinę tej tożsamości zapisać jako:
  D = R / {k * pi / 4 gdzie k jest liczbą całkowitą.
  
  Dowód tożsamości: Zapisujemy ctg x jako 1 / tg x. Wtedy po lewej stronie mamy:
  
  \frac{1+\mbox{tg}^2\,x}{1+\mbox{ctg}^2\,x}=\frac{1+\mbox{tg}^2\,x}{1+1/\mbox{tg}^2\,x}=\frac{1}{1/\mbox{tg}^2\,x}\cdot\frac{1+\mbox{tg}^2\,x}{\mbox{tg}^2\,x+1}=\mbox{tg}^2\,x
  
  Po prawej stronie jest tg x / (1 / tg x) = tg^2 x ; czyli lewa strona = prawa strona.
  =====================================
  
  Zad. 3.
  Trzeba "sprytnie" przekształcić kąty tak, aby wystąpiły znane kąty 30 lub 45 stopni.
  
  a)
  Zauważ, że 150 stopni = 180 - 30 (jest to druga ćwiartka więc kosinus jest ujemny)
  oraz 225 stopni = 180 + 45 (jest trzecia ćwiartka więc kotangens jest dodatni.
  Całe wyrażenie jest równe:
  
  =\cos(180^\circ-30^\circ)-3\,\mbox{ctg}(180^\circ+45^\circ)=-\cos 30^\circ-3\,\mbox{ctg}45^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}-3
  
  b)
  sin(-5 pi / 4) = - sin(5 pi/4). Z kolei 5pi / 4 = pi + pi/4
  Jest to kąt w trzeciej ćwiartce więc sinus jest ujemny. Cale wyrażenie jest równe:
  
  =-\sin(\pi + \pi/4)= \sin(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}
  
  =====================================
  
  Zad. 4.
  a)
  Kosinus jest funkcją symetryczną względem zera,
  mamy więc dwa rozwiązania z przeciwnym znakiem.
  Dodajemy do obu wielokrotności 2pi, bo tyle wynosi okres funkcji kosinus
  x1 = 2 pi / 3 + 2 k pi
  x1 = - 2 pi / 3 + 2 k pi
  gdzie k jest liczbą całkowitą.
  
  b)
  [ Przypominam, że ^2 oznacza "do kwadratu" ]
  Podstawiamy t = sin x i mamy zwykłe równanie kwadratowe na "t"
  2 t^2 - t - 1 = 0 ; liczymy deltę
  delta = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 9 ; pierwiastek(delta) = 3
  t1 = (1 + 3) / 4 = 1 czyli sin x = 1 stąd x1 = pi/2 + 2 k pi
  t1 = (1 - 3) / 4 = 1 czyli sin x = -1/2 stąd
  x2 = -pi/6 + 2 k pi lub x3 = 7pi/6 + 2 k pi
  gdzie k jest liczbą całkowitą
  
  c)
  Dzielimy przez 2 i mamy cos x >= - pierwiastek(2) / 2
  Takiej wartości kosinusa odpowiadają dwa kąty: - 3pi / 4 oraz + 3pi / 4.
  Nierówność jest spełniona pomiędzy tymi katami (narysuj sobie wykres kosinusa).
  Ponieważ jednak x należy do przedziału <0; 2pi> to trzeba "przenieść" ujemny kąt
  dodając do niego 2pi, co daje 5pi/4.
  Wtedy nierówność jest spełniona dla przedziału od 0 do 3pi/4 oraz od 5pi/4 do 2pi.
  Rozwiązanie zapisujemy jako:
  
  x należy do < 0; 3pi / 4 > U < 5pi / 4; 2pi >
  
  (gdy zapisuję to LaTeX'u pojawia się błąd, nie wiem, dlaczego,
  bo edytor równań LaTeX rozumie użyty zapis, masz wynik w załączniku).
  =====================================
  
  Zgłoś proszę zadania z grupy B osobno, bo ten tekst jest już za długi,
  a poza tym nie wiem, czy rozwiązanie nadal jest potrzebne.

  Załączniki

  • codecogseqn.gif (904 bytes)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    paulinamik91 12.6.2016 (10:09)

    Naprawdę bardzo dziekuje! Jeszcze wszystko sie przyda :) dodałam grupę B :)