Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 12.6.2016 (11:13)

  Masz część rozwiązań. Wiem, że już po sprawdzianie, ale może jeszcze się przydadzą.
  
  Strona 290.
  1.
  Odp. D.
  Podstawa logarytmu jest 0,1 < 1 więc aby otrzymać liczbę 2009 > 1
  trzeba podnieść 0,1 do ujemnej potęgi.
  ------------------------------
  
  2.
  a) Kolejno: 0; 2; 1/2; -3
  b) Kolejno: 1; -1; 1/2; -2 ponieważ 0,2 = 1/5; 0,04 = 1/25
  c) Kolejno: 2; -4; 10; 6 ; ponieważ 243 = 3 do potęgi 5; 27 = 3 do potęgi 3.
  ------------------------------
  
  3.
  Najpierw zamieniamy log o podstawie 2 na log dziesiętny.
  Potem zapisujemy 20 jako 2 * 10 oraz 9 jako 3 * 3
  
  log_9 20 = log 20 / log 9 = (log 2 + log 10) / (log 3 + log 3) = (x + 1) / (2y)
  ------------------------------
  
  4.
  a)
  Liczba 1/3 przed logarytmem oznacza pierwiastek_stopnia_3 z 8/27 czyli 2/3.
  Wymnażany wszystkie wyrażenia pod logarytmem (przez 2 dzielimy, bo jest minus)
  (2 / 3) * 75 / 2 = 25
  Dostajemy: log_5 25 = 2
  
  b)
  W liczniku jest log_5 (18 * 0,5) = log_5 (9) = log_5 (3 * 3) = 2 * log_5 (3)
  W mianowniku jest log_5 [12 / (2*2) ] = log_5 (3)
  Całe wyrażenie = [ 2 * log_5 (3) ] / [ log_5 (3) ] = 2
  =================================
  
  Strona 308. [ pamiętaj, że znaczek ^ to "do potęgi", np. 2^3 = 8 ]
  1.
  log(10x) = log(10) + log(x) = log(x) + 1
  log(x /10) = log(x) - log(10) = log(x) - 1.
  Całe równanie ma postać:
  [ log(x) + 1 ] * [ log(x) - 1 ] = [ log(x) ]^2 - 1 = 3 ; czyli
  [ log(x) ]^2 = 4 ; czyli
  log(x) = 2 lub log(x) = -2 ; co daje x1 = 100 lub x2 = 1 / 100.
  Iloczyn x1 * x2 = 100 * (1/100) = 1.
  Odp. B
  ------------------------------
  
  2.
  a)
  Zakładamy, że 3 - 4x > 0 czyli dziedzina równania to D = (-oo; 3/4).
  Prawa strona = log_0,9 (1 / 0,9^2) = log_0,9(100 / 81) ; równanie przechodzi na:
  3 - 4x = 100/81 ; stąd
  x = 143 / 324. Jest to liczba mniejsza od 3/4 czyli należy do dziedziny.
  
  b)
  Zakładamy, że: x > 0 (aby pod logarytmami były liczby dodatnie)
  oraz 3x jest różne od 1 oraz 9x jest różne od 1 (aby podstawy nie były równe 1).
  Dziedzina równania D = (0; +oo) - { 1/9; 1/3 }
  Wyciągamy potęgi x^2 i x^3 przed logarytm i mamy równanie:
  
  3 log_3x (x) = 2 log_9x (x) ; zamieniamy podstawy logarytmów na dziesiętne
  3 log x / log (3x) = 2 log x / log (9x) ; wymnażamy "na krzyż"
  3 log x * log(9x) = 2 log x * log(3x)
  
  Jednym z rozwiązań jest log x = 0 czyli x1 = 1.
  Jeśli x jest różne od 1 to skracamy log x i dostajemy:
  3 (log x + log 9) = 2 (log x + log 3) ; stąd:
  log x = 2 * log 3 - 3 * log 9
  log x = log (3^2 / 9^3)
  log x = log(1 / 81)
  x2 = 1 / 81 ; Oba rozwiązania należą do dziedziny równania
  
  c)
  Założenia:
  2x^2 - 3x + 3 > 0 aby pod logarytmem była liczba dodatnia.
  Jest to prawda dla wszystkich x
  gdyż delta równania 2x^2 - 3x + 3 = 0 jest ujemna.
  Drugi warunek to 2x > 0 oraz 2x różne od 1 (z powodu podstawy logarytmu)
  Dziedziną równania jest więc: (0; +oo) / { 1/2 }
  
  Prawa strona jest równa log_2x (2x) = 1
  więc lewa strona też jest równa 1, więc wyrażenie pod logarytmem równa się 2
  Mamy: 2x^2 - 3x + 3 = 2 ; stąd
  x1 = 1 ; dobre rozwiązanie
  x2 = 11/2 ; odrzucamy to rozwiązanie bo nie należy do dziedziny
  
  d)
  Zakładamy x > 0 aby pod logarytmem była liczba dodatnia.
  Dziedzina D = (0; +oo)
  Piszemy, że 0,5 * log_0,2 (x^2) = 0,5 * 2 * log_0,2 (x) = log_0,2 (x)
  Podstawiamy t = log_0,2 (x) i mamy równanie kwadratowe na "t"
  
  t^2 + t - 2 = 0 ; Rozwiązania to
  t1 = -2 ; czyli log_0,2 (x) = -2 ; więc x1 = (0,2)^(-2) = 25
  t2 = 1 ; czyli log_0,2 (x) = 1 ; więc x2 = 0,2
  
  Oba rozwiązania należą do dziedziny.
  ------------------------------
  
  Jeszcze zadanie 5, bo jest łatwe :)
  Zakładamy x > 0 oraz y > 0
  Z pierwszego równania mamy log_2 (x y) = 2 ; czyli x y = 4;
  Z drugiego równania mamy y = 5 - x^2 ; podstawiamy to do poprzedniego wzoru
  x (5 - x^2) = 4 ; stąd
  x^3 - 5x + 4 = 0
  Zgadujemy jedno z rozwiązań: x1 = 1 i wtedy y1 = 4
  
  Zapisujemy nasze równanie jako:
  x^3 - 5x + 4 = (x - 1)(x^2 + Ax - 4) = 0
  wymnażamy nawias, grupujemy potęgi x. Dostajemy:
  x^3 - 5x + 4 = x^3 + x^2 (A - 1) - x (A + 4) + 4 = 0 ; stąd A = 1
  Do rozwiązania zostaje równanie:
  x^2 + x - 4 = 0. Wychodzi:
  x2 = [-1 + pierwiastek(17) ] / 2 ; wtedy y2 = [ 1 + pierwiastek(17) ] / 2
  (poprawne, należy do dziedziny)
  x3 = [-1 - pierwiastek(17) ] / 2 odrzucamy bo x3 < 0
  
  ------------------------------
  
  Zgłoś proszę pozostałe zadania oddzielnie (o ile potrzebne)
  bo ten tekst staje się za długi.
  ==================================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie