Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.3.2016 (16:03)

  Napiszmy wzory na zależność położenia x(t), prędkości v(t) i przyspieszenia a(t) w nietłumionym oscylatorze liniowym.
  
  Dodatkowo oznaczmy:
  x0 = - 8,5 cm - położenie w chwili t = 0
  v0 = - 0,92 m/s - prędkość w chwili t = 0
  a0 = + 47 m/s^2 - przyspieszenie w chwili t = 0
  A - amplituda drgań. W zadaniu jest ona oznaczana chyba "xm", ale to niejasne.
  Oznaczenie częstości kołowej ω jest podane w zadaniu.
  
  UWAGA! Istnieją dwa równoważne wzory na wychylenie x(t) - jeden z funkcją sinus, drugi z funkcją kosinus. Tutaj używam zestawu w którym:
  
  x(t) = A sin(ω t + φ) ; wtedy:
  v(t) = A ω cos(ω t + φ) ; oraz
  a(t) = - A ω^2 sin(ω t + φ)
  
  Jeżeli użyjemy wzoru: x(t) = A cos(ω t + φ) to obliczone fazy φ będą się różnić od tych obliczonych niżej o pi / 2. Trzymajmy się sinusa :)
  
  Podstawiając t = 0 do równań na położenie, prędkość i przyspieszenie otrzymujemy:
  
  A sin(φ) = x0
  A ω cos(φ) = v0
  - A ω^2 sin(φ) = a0
  
  Mamy trzy równania z trzema niewiadomymi A, ω, φ. Powinno dać się rozwiązać :)
  Zaczynamy:
  ---------------------
  
  Liczymy częstość kołową.
  Na pewno faza początkowa jest taka, że sin(φ) jest różne od zera
  (bo x(0) jest niezerowe). Dzielimy trzecie z równań przez pierwsze. Zostaje:
  
  - ω^2 = a0 / x0 ; stąd:
  ω = + pierwiastek( - a0 / x0)
  
  Wstawiamy dane. Aby wymiar się zgodził trzeba x0 zapisać w metrach:
  x0 = - 0,085 m.
  ω = pierwiastek [ - 47 / ( - 0,085) ] = około 23,5 rad/s
  
  Sprawdzamy wymiar:
  [ ω ] = pierwiastek [ (m/s^2) / m ] = pierwiastek(1 / s^2) = 1 / s. Jest OK.
  [ Nie przejmuj się radianami - są bezwymiarowe ! ]
  ---------------------
  
  Liczymy amplitudę A. drugie z równań dla t = 0 dzielimy przez ω, bierzemy pierwsze i drugie równanie i podnosimy stronami do kwadratu. Dostajemy:
  
  A^2 sin^2(φ) = x0^2
  A^2 cos^2(φ) = (v0 / ω)^2 ; dodajemy stronami, "jedynka trygonometryczna"
  A^2 = x0^2 + (v0 / ω)^2 ; stąd:
  
  A = + pierwiastek [ x0^2 + (v0 / ω)^2 ]
  
  Wymiar się zgodzi (w metrach) bo v0 / ω ma wymiar [(m/s) / (1/s)] = m.
  Wstawiamy dane liczbowe i ω obliczone wyżej.
  
  A = pierwiastek [ 0,085^2 + (0,92 / 23,5)^2 ] = około 0,094 m = 9,4 cm
  ---------------------
  
  Liczymy fazę φ. Zauważ, że z pierwszego równania z podanej trójki mamy:
  
  sin(φ) = x0 / A więc sin(φ) = - 0,085 / 0,094 = około - 0,9
  
  Mamy DWA kąty fazowe spełniające to równanie:
  φ1 = około - 1,14 rad oraz φ2 = φ1 + pi = około 2 rad.
  ========================
  
  W razie pytań lub jeśli się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie