Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 14.1.2016 (21:42)

  f(x)=x^3 * e^(-x) = x^3 / e^x
  
  Dziedzina: D = R - funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.
  
  Miejsca zerowe: Jedno potrójne: x = 0 gdyż e^x nigdy nie jest zerem.
  
  Pochodna:
  f ' (x) = 3x^2 * e^(-x) - x^3 e^(-x) = (3 - x) * x^2 * e^(-x)
  
  Zauważ, że część wyrażenia na pochodną: x^2 * e^(-x) jest nieujemna.
  Istnieją dwa punkty w których f ' (x) = 0
  1) x = 3.
  W tym punkcie pochodna zmienia znak z + na - . Jest to maksimum lokalne
  f(3) = 3^3 * e^(-3) = 27 / e^3 = około 1,34
  
  2) x = 0
  Pochodna nie zmienia znaku - co najwyżej jest to punkt przegięcia
  
  Funkcja jest
  rosnąca dla x z przedziału ( - oo; 3 ) / { 0 }
  malejąca dla x z przedziału ( 3; +oo )
  
  Policzmy f '' (x)
  f ' ' (x) = (x^2 - 6x + 6) * x * e^(-x) [ liczone programem ]
  Można to zapisać jako:
  f ' ' (x) = (x - x1) * (x - x2) * x * e^(-x) ; gdzie
  x1 = 3 - pierwiastek(3)
  x2 = 3 + pierwiastek(3)
  W każdym z punktów x1, x2, x = 0 druga pochodna zmienia znak
  są więc to punkty przegięcia.
  Druga pochodna jest ujemna dla x z przedziału ( -oo; 0 ) U (x1; x2)
  i dodatnia dla przedziału ( 0; x1) U (x2; +oo)
  Sorry, nigdy nie wiem, kiedy funkcja jest wypukła, kiedy wklęsła.
  
  Granice i asymptoty:
  
  lim f(x) gdy x --> -oo = -oo
  (oba czynniki, x^3 oraz e^(-x) są wtedy nieskończone oraz x^3 < 0)
  
  lim f(x) gdy x --> +oo = 0
  (z de l'Hospitala, trzykrotnie różniczkujemy licznik i mianownik wyrażenia:
  x^3 / e^x ----> 3x^2 / e^x ----> 6x / e^x ----> 6 / e^x ---> 0
  Asymptotą poziomą jest y = 0
  
  Ponieważ lim f ' (x) dla x --> +oo = 0 to brak asymptoty ukośnej,
  to samo dla x --> -oo, wtedy f ' (x) --> +oo.
  Tak samo brak asymptoty pionowej gdyż dla skończonych "x"
  wartość f(x) jest zawsze skończona.
  
  Wykres f(x) w przedziale (-1; 10) jest w załączniku
  [ uwaga - stale na osiach X i Y są różne ].
  ======================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie