Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.12.2015 (14:52)

  Porządna, pełna gumowa kulka (nie pusta w środku piłeczka) utonie w akwarium, bo guma ma większy ciężar właściwy niż woda (można sprawdzić to w sieci, w zależności od rodzaju gumy jest to od 1100 do 1200 kg/m^3. Przyjmiemy średnią 1150 kg/m^3)
  
  Dane:
  S = 1000 cm^2 = 0,1 m^2 - powierzchnia podstawy akwarium
  2r = 4 cm = 0,04 m - średnica gumowej kulki (promień r = 0,02 m)
  d_w = 1000 kg/m^3 - gęstość wody
  d_g = 1150 kg/m^3 - gęstość gumy, zobaczysz dalej, po co to wprowadzam
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie - potrzebne (bo w stanie nieważkości nic by się nie zmieniło, na Księżycu ciśnienie wzrosłoby mniej).
  
  Szukamy:
  Delta_p - zmiana ciśnienia na dno
  
  Istnieją dwa rozwiązania - jedno "dokładne", a drugie "przybliżone".
  
  -----------------------
  Przybliżone: (chyba jednak o to chodzi Autorowi zadania)
  Ponieważ Autor zadania NIE podał ciężaru właściwego gumy to zakładamy, że JEDYNĄ przyczyną wzrostu ciśnienia jest wzrost poziomu wody, gdy kulka o objętości V się do niej wchlapie i utonie. To NIE jest prawda (byłaby, gdyby kulka pływała) - ale na chwilę tak załóżmy, dlatego piszę "przybliżone rozwiązanie"
  
  Poziom wody wzrośnie o Delta_h, takie, że Delta_h * S jest równe objętości kulki.
  (wyobraź sobie, że kulka "rozpłaszczyła się" po całym dnie, mającym powierzchnię S)
  Czyli:
  
  Delta_h * S = (4/3) pi r^3 ; stąd:
  
  Delta_h = (4/3) pi r^3 / S ; wstawiamy dane, pamiętaj o zamianie jednostek!
  
  Delta_h = (4/3) pi * 0,02^3 / 0,1 = około 0,0003351 m
  
  Słupek wody o wysokości Delta_H i gęstości d_w wywiera dodatkowe ciśnienie Delta_p:
  
  Delta_p = Delta_h * d_w * g
  Delta_p = 0,0003351 * 1000 * 10 = 3,3351 = około 3,3 Pa
  
  Sprawdzamy jeszcze wymiar wyniku. Zadbaliśmy, aby pole powierzchni dna i promień kulki przeliczyć na metry więc mamy wszystkie jednostki w układzie SI.
  
  [ Delta_p ] = m * (kg/m^3) * (m/s^2) = (kg * m/s^2) / m^2 = N/m^2 = Pa [paskal].
  -----------------------
  
  Dokładne: (wymaga znajomości gęstości gumy d_g)
  Postawmy akwarium na wadze przed wrzuceniem kulki.
  Waga wskaże pewien ciężar Q = waga_akwarium + waga wody = Q_a + Q_w
  Wrzucamy kulkę która waży Q_g.
  Teraz całość waży: Q_a + Q_w + Q_g (zaraz objaśnię czemu dodaję Q_g)
  Różnica wag: (Q_a + Q_w + Q_g) - (Q_a + Q_w) = Q_g
  rozkłada się na całą powierzchnię S dna akwarium dając przyrost ciśnienia:
  
  Delta_p = Q_g / S = (4/3) pi r^3 * d_g * g / S ; podstawiamy dane
  Delta_p = (4/3) pi * 0,02^3 * 1150 * 10 / 0,1 = około 3,854 = około 3,9 Pa
  
  Jak widzisz różnica rozwiązań to około 0,5 Pa, czyli 0,5/3,9*100% = 13%
  Sprawdzamy wymiar:
  
  [ Delta_p ] = m^3 * (kg/m^3) * (m/s^2) / m^2 = N/m^2 = Pa.
  -----------------------
  
  Jak porównasz przybliżone i dokładne rozwiązanie to zobaczysz, że wyniki są różne tylko w jednym miejscu - zamiast gęstości wody podstawia się gęstość gumy. Faktycznie, różnica gęstości daje błąd względny równy:
  
  (d_g - d_w) / d_g * 100% = (1150 - 1000) / 1150 * 100% = 13% <--- taki sam błąd, jak poprzednio.
  
  Zobacz, co się fizycznie dzieje:
  Z prawa Archimedesa utopiona kulka ma ciężar zmniejszony o ciężar wypartej przez nią wody. Czyli kulka naciska na dno z siłą parcia P równą
  
  P_g = Q_g - Q_wyporu
  
  Jednocześnie podnosi się poziom wody, o tyle, aby parcie na dno wzrosło właśnie o "ciężar wypartej wody" (bo jest to ciężar = objętość kulki razy gęstość wody). Nowe parcie na dno wyniesie więc:
  
  P_nowe = P_stare + (Q_g - Q_wyporu) + Q_wyporu = P_stare + Q_g
  
  czyli faktycznie - parcie wzrośnie po prostu o ciężar kulki,
  a ciśnienie wzrośnie o ciężar kulki dzielony przez powierzchnię dna.
  ------------------------------
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  UWAGA: "Przybliżone" rozwiązanie staje się prawdziwe, jeśli kulka jest zawieszona na nitce i nie dotyka dna - chyba Twoje drugie zadania jest o tym. W tym zadaniu sumujemy ciężary i już. Na dnie leży "rozpłaszczona kulka, nad nią warstwa wody. Wynik zależy od gęstości gumy.
  Będę się przy tum upierał :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie