Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 21.12.2015 (18:37)

  Algebraicznie:
  
  x-|y-4|=4
  |x-3|+|y-4|=3
  --------------------- dodajemy równania stronami, skraca się |y-4|
  
  x + |x-3| = 7
  
  Mamy dwie sytuacje:
  
  a) gdy x - 3 >= 0 ; czyli gdy x >= 3
  to | x - 3 | = x - 3 ; nasze równanie przechodzi w:
  x + x - 3 = 7 ; stąd:
  2x = 10
  x = 5 ; to rozwiązanie spełnia warunek x >= 3, przyjmujemy je.
  
  b) gdy x - 3 < 0 ; czyli gdy x < 3
  to | x - 3 | = -x + 3 ; nasze równanie przechodzi w:
  x - x + 3 = 7 ; stąd:
  3 = 7
  Sprzeczność.
  
  Mamy więc tylko jedno x = 5. Wstawiamy to do pierwszego równania:
  5 - | y - 4 | = 4 ; stąd:
  
  | y - 4 | = 1 ; ponownie mamy dwie sytuacje:
  
  c) y - 4 >= 0 ; czyli y >= 4 ; wtedy | y - 4 | = y - 4 ; równanie przechodzi na:
  y - 4 = 1 ; stąd
  y = 5 ; poprawne, spełnia warunek y >= 4
  
  d) y - 4 < 0 ; czyli y < 4 ; wtedy | y - 4 | = -y + 4 ; równanie przechodzi na:
  -y + 4 = 1 ; stąd
  y = 3 ; poprawne, spełnia warunek y < 4
  
  Dla x = 5 mamy dwie możliwości na y: 3 lub 5, więc rozwiązaniami są punkty:
  
  x = 5 ; y = 3 lub x = 5 ; y = 5
  -------------------------------------------------------------------
  
  Graficznie:
  
  |x-3|+|y-4|=3
  
  Patrz załącznik "graficznie.pdf".
  
  Zielony fragment to obraz równania x - | y - 4 | = 4
  Jak w części algebraicznej rozważamy przypadki gdy y >= 4 lub y < 4
  ( kreskowana, pozioma, czarna linia na rysunku oznacza y = 4.
  W zależności od y dostajemy różne równania prostych (pogrubione półproste)
  - dla y >= 4 obowiązuje prosta y = x
  - dla y < 4 obowiązuje prosta y = 8 - x
  Pierwsze z równań przedstawia więc kształt typu " < "
  
  Niebieski fragment to obraz równania | x - 3 | + | y - 4 | = 3
  Oprócz warunków na y mamy jeszcze warunki na x, razem 4 przypadki:
  - dla y >= 4 oraz x >= 3 obowiązuje prosta y = 10 - x
  - dla y >= 4 oraz x < 3 obowiązuje prosta y = x + 4
  - dla y < 4 oraz x >= 3 obowiązuje prosta y = x - 2
  - dla y < 4 oraz x < 3 obowiązuje prosta y = 4 - x
  Drugie z równań wyznacza więc prostokąt (pogrubione niebieskie linie).
  
  Przecięcie tego prostokąta z kształtem " < " zachodzi w punktach:
  L = (5; 5) oraz M = (5; 3) co zgadza się z rozwiązaniem algebraicznym.
  ================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Rysunek robiłem darmowym programem "GeoGebra", który polecam !
  
  
  
  
  .

  Załączniki

  • graficznie.pdf (21 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie