Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 14.12.2015 (18:49)

  Ogólnie: Jeśli skala podobieństwa figur wynosi "k"
  to pola tych figur są w stosunku k^2 [ czytaj "k do kwadratu ]
  
  Najłatwiejszy jest środkowy przykład.
  Przekątna małego sześciokąta jest połową przekątnej dużego,
  skala podobieństwa k = 1 / 2, czyli k^2 = 1 / 4.
  Pole małego 6-kąta
  P = 16 * 1/4 = 4
  
  Rysunek z lewej strony: Obliczamy stosunek boków 6-kątów.
  Weź pod uwagę malutki trójkąt utworzony przez wierzchołek dużego 6-kąta i bok małego.
  Kąt rozwarty wynosi 120 stopni, więc kąty ostre mają po 30 stopni.
  Jak dorysujesz wysokość tego trójkącika to podzieli się on na 2 trójkąty
  prostokątne z kątem 30 stopni. Stąd wniosek, że:
  
  (1/2) małego boku = (1/2) dużego boku * cos(30)
  
  cos(30) = pierwiastek(3) / 2 i taka jest skala podobieństwa. Jej kwadrat k^2 = 3 / 4.
  Pole małego 6-kąta
  P = 16 * 3/4 = 12
  
  Rysunek z prawej strony (najgorszy).
  W jednym z trójkącików o kreskowanych bokach, utworzonym przez
  wierzchołek małego 6-kąta i bok dużego poprowadź wysokość.
  Ten trójkącik ma także kąty 120, 30 i 30 stopni więc powstanie trójkąt prostokątny,
  jak poprzednio. Ale teraz liczymy długość kreskowanego boku.
  Oznaczmy ją "x". Długość boku dużego 6-kąta oznaczmy "a"
  
  x = (a/2) / cos(30) = (a/2) * 2 / pierwiastek(3) = a / pierwiastek(3).
  
  Weźmy teraz średni trójkąt (też o katach 120, 30, 30) utworzony przez bok małego 6-kąta i dwie kreskowanie linie. Narysujmy jego wysokość. Zauważ, że odcinek łączący wierzchołek dużego 6-kąta ze środkiem boku małego 6-kąta to:
  
  y = a * cos(30) = a * pierwiastek(3) / 2.
  
  Połowa boku małego 6-kąta [ oznaczmy cały ten bok przez b ] to y - x ; czyli:
  
  (b / 2) = y - x = a * pierwiastek(3) / 2 - a / pierwiastek(3) ; stąd:
  
  b = a * [ pierwiastek(3) - 2 / pierwiastek(3) ] ;
  
  Stosunek b / a, czyli skala podobieństwa k = pierwiastek(3) - 2 / pierwiastek(3).
  Obliczamy kwadrat k
  
  k^2 = 3 - 2 * pierwiastek(3) * 2 / pierwiastek(3) - 4 / 3 = 1 / 3
  Pole małego 6-kąta
  P = 16 * 1/3 = 16 / 3 = 5 i 1/3
  
  ==================================
  
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie