Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 12.12.2015 (09:16)

  Czy chodzi o wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych funkcji
  oraz jej ekstremów i monotoniczności NA PODSTAWIE badania pochodnej ?
  Jeśli tak, to:
  -------------------
  
  Weźmy drugą funkcję: f(x) = x^2 * e^-x ; bo w pierwszej jest coś z zapisem nie tak.
  Aby wyznaczyć dziedzinę patrzymy, czy nie występują we wzorze funkcji "zabronione sytuacje". Do takich należą przypadki gdy:
  
  - występuje zero w mianowniku (tutaj: nie, bo nie mamy mianownika)
  - występuje liczba ujemna pierwiastkiem kwadratowym (tutaj - nie)
  [ to samo dotyczy innych pierwiastków stopnia parzystego ]
  - występuje zero lub liczba ujemna w logarytmie (tutaj - nie)
  - występuje możliwość że tangens czegoś jest nieskończony.
  
  Można znaleźć sporo innych sytuacji, ale te powyżej są pospolite.
  W tym przypadku mamy "porządną" funkcję x^2, określoną dla każdego "x"
  oraz też porządną funkcję e^(-x), też poprawną dla wszystkich "x".
  
  Dziedziną jest więc cały zbiór liczb rzeczywistych ; D = R
  --------------
  
  Miejsca zerowe: Porównujemy funkcję do zera:
  x^2 * e^(-x) = 0.
  
  Ponieważ funkcja wykładnicza e^(-x) jest ZAWSZE dodatnia, to aby całość była zerem jedyną możliwość daje x = 0.
  Mamy więc jedno miejsce zerowe x1 = 0
  --------------
  
  Ekstrema i monotoniczność: Obliczamy pochodną.
  Nasza funkcja jest iloczynem dwóch funkcji: g(x) = x^2 oraz h(x) = e^(-x).
  Odpowiednie pochodne wynoszą:
  g ' (x) = 2x
  h ' (x) = - e^(-x)
  Ze wzoru na pochodną iloczynu : (g * h) ' = g ' * h + g * h ' mamy:
  
  f ' (x) = 2x e^(-x) - x^2 e^(-x) ; co można zapisać w taki sposób:
  
  f ' (x) = x (2 - x) e^(-x^2)
  
  Badamy tą pochodną pod kątem znaków i miejsc zerowych.
  Zauważ, że e^(-x) jest zawsze dodatnie
  więc znak pochodnej zależy tylko od wyrażenia: x (2 - x).
  To wyrażenie - jak wiadomo ze szkoły średniej - jest:
  
  ujemne dla x < 0 oraz x > 2
  dodatnie dla x z przedziału (0; 2)
  równe zeru dla x = 0 lub x = 2. Wobec tego o funkcji f(x) wnioskujemy:
  
  dla x z przedziału ( - oo; 0 ) funkcja jest malejąca
  dla x z przedziału ( 0; 2 ) funkcja jest rosnąca
  dla x z przedziału ( 2; +oo ) funkcja jest malejąca
  
  W punkcie x = 0 pochodna zmienia znak z minusa na plus
  f(x) maleje po lewej stronie x = 0, rośnie po prawej.
  Funkcja ma więc minimum lokalne
  
  W punkcie x = 2 jest odwrotnie i funkcja ma tam maksimum lokalne
  --------------
  
  Potwierdza to wykres - jest w załączniku.
  UWAGA! Skale na osiach X i Y są RÓŻNE !
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Zamieść proszę pierwszą z funkcji ponownie, bo nie wiem
  co robi tam ta "pusta" cyfra 2.

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie