Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 1

  antekL1 2.1.2013 (07:53)

  Tak naprawdę to f(x) NIE jest funkcją, trzeba to powiedzieć zadającemu zadanie,
  bo odwzorowanie: g(x) = arctan(x) jest wielowartościowe, np. dla x = 1
  może to być: pi/4, pi/4 + pi, pi/4 + 2pi itd, w ogólności pi/4 + k pi.
  Ale załóżmy, że bierzemy tylko "główną wartość" arctan(x), czyli wartości (-pi/2, pi/2).
  Wtedy:
  1)
  D = R, gdyż funkcja tg(x) może przybierać dowolne wartości rzeczywiste
  więc jej odwrotność jest określona dla każdego x należącego do R.
  Podobnie druga składowa f(x) = x jest określona w całym zbiorze R.
  
  2) 11)
  Tylko x = 0. Patrz wykresy, jeden jest w zakresie [-1,1], drugi w [-100,100].
  Dowód: Jeśli x * arctan(x) = 0 to:
  albo x = 0
  albo arctan(x) = 0, ale wtedy tg(x) = 0 czyli ponownie x = 0.
  
  3)
  Jest PARZYSTA czyli f(x) = f(-x)
  Dowód: Ponieważ tg(-x) = -tg(x) [to ze szkoły] więc arctan(-x) = - arctan(x)
  f(-x) = (-x) * arctan(-x) = -(-)x * arctan(x) = +f(x)
  
  4)
  Nie. Tylko nie pomyl wielowartościowości, o której pisałem na początku, z okresowością.
  Tangens jest okresowy, arctan nie.
  
  5)
  Będą. Ponieważ arctan jest w zakresie (-pi/2, pi/2) to dla dużych x cała funkcja "zachowuje się" jak "x", spodziewamy się ukośnych asymptot. Trochę się tu naliczymy.
  Asymptota, gdy x --> +oo. Zakładamy prostą w postaci y = ax + b.
  Na wykładzie były pewnie te wzory:
  
  a = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\arctan(x)=\frac{\pi}{2}
  
  b = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,[f(x)-ax]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(\arctan(x)-\frac{\pi}{2}\right)\right]
  
  Z tą granicą (typu oo * 0) poradzimy sobie z tw. de l'Hospitala, przepisując 'x' do mianownika jak niżej. Pochodna arctan to 1 / (x^2 + 1) - pisz na priv, jak nie wiesz, dlaczego, tak samo pytaj w razie wątpliwości o poniższy wzór:
  
  b = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\frac{\left[\left(\arctan(x)-\frac{\pi}{2}\right)\right]'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\,\frac{-1}{1+\frac{1}{x^2}} = -1
  
  Czyli prawostronna asymptota to y = pi/2 * x - 1.
  Analogicznie lewostronna wyjdzie y = -pi/2 * x - 1.
  (pamiętaj, że a = minus pi/2 z lewej strony, mnie się już udało pomylić :)
  
  6) 7) 8) 9)
  Pochodna f(x) to:
  
  f'(x) = \frac{x}{1+x^2}+\arctan(x)
  
  Równanie f'(x) = 0 jest nierozwiązywalne algebraicznie, ale druga pochodna to:
  
  f''(x) = \frac{2}{(1+x^2)^2}
  
  co jest zawsze dodatnie, więc pierwsza pochodna jest stale rosnąca. Skoro tak, a ze wzoru parę linijek wyżej wynika, że f'(x) < 0 dla x < 0 więc:
  
  f(x) jest malejąca dla x < 0, rosnąca dla x > 0
  Ma minimum w x = 0, f(0) = 0,
  Nie ma punktów przegięcia.
  
  Co do wklęsła / wypukła i tabelki to tego nigdy nie umiałem i szybciej zdechnę, niż się nauczę.
  
  Mam nadzieję, że w pozostałych punktach się nie pomyliłem.
  Szczęśliwego Nowego Roku
  Antek

  Załączniki

  • wykres1.jpg (6 KB)
  • wykres100.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    habibibb93 2.1.2013 (09:24)

    ludzie są jednak cudowni. bardzo dziękuję za pomoc!!!!!:)