Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 12.12.2015 (11:25)

  Zad. 1.
  Wykresy są w załącznikach.
  
  y = ctg(x + pi/4) + 3. Robisz tak:
  - rysujesz wykres y = ctg(x)
  [ zielona linia, pionowe asymptoty są w x = pi/2, x = 3pi/2 itd...]
  - przesuwasz zielony wykres o pi/4 w LEWO, masz niebieską linię y = ctg(x + pi/4)
  - przesuwasz niebieski wykres o 3 w GÓRĘ (czerwona linia).
  To jest szukany wykres całego wyrażenia.
  
  y = | 2 sin(x) |
  - rysujesz (czerwony) wykres y = sin(x)
  - "rozciągasz" go dwukrotnie w pionie (fioletowa linia, częściowo zakryta)
  Masz w ten sposób 2*sin(x)
  - wszystkie fragmenty fioletowej linii poniżej osi OX "odbijasz" względem tej osi.
  Dostajesz czarny wykres całego wyrażenia.
  ===========================
  
  Zad. 2.
  cos(x) = -1/2
  Kosinus jest punkcją o okresie 2pi, wystarczy więc znaleźć rozwiązania
  w tym przedziale, a potem dodać wielokrotność okresu.
  cos(x) jest równy -1/2 dla x = 2pi / 3 oraz 4pi / 3. Rozwiązaniem jest więc:
  x1 = 2pi / 3 + 2k pi
  x2 = 4pi / 3 + 2k pi
  gdzie k jest liczbą całkowitą.
  
  sin(2x+pi/4) = -pierwiastek(2) / 2.
  Funkcja sinus przyjmuje wartość -pierwiastek(2) / 2 dla kątów 5pi/4 i 7pi/4.
  Mamy więc dwie rodziny rozwiązań:
  2x + pi/4 = 5pi/4 + 2k pi ; stąd 2x = pi + 2k pi ; czyli
  [/b]x1 = pi/2 + k pi[/b]
  2x + pi/4 = 7pi/4 + 2k pi ; stąd 2x = 6pi/4 + 2k pi ; czyli
  [/b]x2 = 3pi/4 + k pi[/b]
  
  tg(2x - pi/8) = 1
  Funkcja tangens przyjmuje wartość 1 dla kąta pi/4; ma okres pi, stąd równanie:
  2x - pi/8 = pi/4 + k pi ; stąd 2x = 3pi / 8 + k pi ; czyli
  x1 = 3pi / 16 + k pi / 2
  ===========================
  
  Zad. 3.
  cos(x + pi/4) < 1/2
  Kosinus jest < 1/2 w przedziale od pi/3 do 5pi/3. Dostajemy układ nierówności:
  pi/3 < x + pi/4 ; stąd x > pi/12
  x + pi/4 < 5pi/3 ; stąd x < 17pi/12
  Mamy rozwiązanie; x należy do przedziału ( pi / 12; 17pi / 12 )
  
  sin(x) >= 2 sin^2(x) ; zapisujemy w postaci:
  sin(x) * [2 sin(x) - 1] <= 0
  
  Stąd powstają następujące sytuacje:
  
  A: sin(x) = 0 ; stąd x = 0; x = pi lub x = 2pi
  2sin(x) - 1 = 0 ; stąd sin(x) = 1/2 czyli x = pi/6 lub x = 5pi / 6
  
  B:
  sin(x) < 0 oraz 2sin(x) - 1 > 0 ; czyli
  sin(x) < 0 oraz sin(x) > 1/2 ; sprzeczne
  
  C:
  sin(x) > 0 oraz 2sin(x) - 1 < 0 ; czyli
  sin(x) > 0 oraz sin(x) < 1/2 ; co daje przedziały:
  x należy do (0; pi/6) U (5pi/6; pi)
  
  Łączymy wszystkie warunki i dostajemy:
  x należy do < 0; pi//6 > U < 5pi/6; pi > U { 2pi }
  
  (musimy dołączyć 2pi, bo przedział < 0; 2pi > był zamknięty z obu stron)
  ===========================
  
  Zad. 4.
  Dziedziną funkcji f(x) jest TYLKO liczba x = 0
  [ ponieważ dla x > 0 nie istnieje pierwiastek(-x),
  a dla x < 0 nie istnieje pierwiastek(x) ]
  
  W swojej dziedzinie D = { 0 } funkcja jest parzysta
  gdyż f(0) = f(-0) = 0
  ale także nieparzysta, bo f(0) = -f(-0) = 0
  ===========================

  Załączniki

  • ctg.pdf (17 KB)

  • sin.pdf (12 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie