Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 29.11.2015 (23:54)

  Sprytny masz sposób zapisywania "x" w wykładniku jako gwiazdki, ale pozwól, że użyję bardziej tradycyjnego zapisu tzn:
  
  a^b oznacza "a do potęgi b"
  log_a (b) oznacza: log o podstawie "a" z liczby "b"
  (albo zapisu w LaTeX'u, który NAPRAWDĘ nie jest trudny do opanowania).
  ===================================
  
  a) 8²*⁻³ · (⅛)*⁺⁷ = 64²⁻³* ; czyli
  8^(2x-3) * (1/8)^(x+7) = 64^(2-3x) lub w LaTeX'u:
  
  8^{2x-3} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x+7} = 64^{2-3x}
  
  Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.
  
  Użyjmy następujących zamian:
  Ponieważ 1/8 = 8^(-1) to (1/8)^(x + 7) = 8^(-x-7)
  Ponieważ 64 = 8^2 to 64^(2-3x) = 8^(4-6x)
  Ponieważ mnożenie potęg o tej samej podstawie [ tutaj: 8 ] to dodawanie wykładników
  więc mamy równanie:
  8^ (2x-3 - x-7) = 8^(4-6x) ; czyli wykładniki muszą wyć równe, więc:
  2x-3 - x-7 = 4-6x ; stąd:
  
  x = 2
  ===================================
  
  b) 3*²+⁸* =1
  Nie rozumiem tego zapisu
  ===================================
  
  c) (¹/₅)⁻² ≤ (¹/₅)¹⁻ ²* ; czyli
  (1/5)^(-2) <= (1/5)^(1-2x) lub w LaTeX'u:
  
  \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \leqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{1-2x}
  
  Dziedziną nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste.
  
  Ponieważ podstawą potęgi jest 1/5 [ liczba < 1 ] to funkcja y = (1/5)^a
  jest malejąca; więc podana nierówność sprowadza się do:
  
  -2 >= 1 - 2x ; stąd:
  2x >= 3 ; czyli
  x >= 3 / 2 czyli x należy do < 3 / 2; +oo )
  ===================================
  
  d) 3*⁻⁵ · 9*⁺³ =27 ; czyli
  3^(x-5) * 9^(x+3) = 27 lub w LaTeX'u:
  
  3^{x-5} \cdot 9^{x+3} = 27
  
  Dziedziną równości są wszystkie liczby rzeczywiste.
  Zamieniamy" 9 = 3^2 oraz 27 = 3^3; mnożenie potęg... [ jak w (a) ] i mamy:
  
  3^(x - 5 + 2x + 6) = 3^3 ; czyli
  x - 5 + 2x + 6 = 3 ; stąd
  x = 2 / 3
  ===================================
  
  e) log₃ x+log₃ (x-8)=2 ; czyli
  log_3 (x) + log_3 (x - 8) = 2 lub w LaTeX'u:
  
  \log_3 x + \log_3 (x-8) = 2
  
  Dziedzina równania: Liczba logarytmowana ma być dodatnia, więc:
  x > 0 oraz x - 8 > 0 ; stąd: x > 8 ; dziedzina to: D = (8 ; +oo)
  
  Dodawanie logarytmów o tej samej podstawie to mnożenie liczb logarytmowanych,
  poza tym 2 = log_2 (9) więc:
  
  log_3 [ x (x - 8) ] = log_3 (9) ; czyli
  x (x - 8) = 9 ; mamy równanie kwadratowe:
  x^2 - 8x - 9 = 0
  mające rozwiązania x1 = -1 oraz x2 = 9. Ale tylko x2 należy do dziedziny więc
  x = 9
  ===================================
  
  g) log₃(x+26)<2 ; czyli
  log_3 (x + 26) < 2 lub w LaTeX'u:
  
  \log_3 (x + 26) \leq 2
  
  Dziedzina: x + 26 > 0 ; stąd x > - 26.
  
  Zamieniamy: 2 = log_3 (9) i mamy
  log_3 (x + 26) < log_3 (9)
  
  Ponieważ log o podstawie 3 jest funkcją rosnącą to dostajemy nierówność:
  x + 26 < 9 ; stąd:
  x < -17.
  
  Ale musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę; x > -26, więc rozwiązanie to przedział:
  x należy do ( - 26; - 17 )
  ===================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie