Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.11.2015 (08:31)

  Abyś zobaczył(a), ile trzeba się napisać, dodaję rozwiązanie zadania 1a) i 1d)
  
  1a)
  Badamy znak wyrażenia: a(n+1) - a(n)
  
  a_{n+1}-a_n = \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2}-\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3n+4}{n+3}-\frac{3n+1}{n+2}=
  
  sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  =\frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=
  
  \frac{3n^2+3n+4n+8-3n^2-n-9n-3}{(n+3)(n+2)}=
  
  =\frac{5}{(n+3)(n+2)}
  
  Mianownik ostatniego z ułamków jest dodatni dla n > 0
  więc całe wyrażenie jest > 0. Ciąg jest monotonicznie rosnący
  
  W taki sam sposób rozwiązuje się 1c.
  =====================
  
  1d)
  Ponieważ a_n > 0 możemy zbadać też iloraz wyrazów a(n+1) / a(n)
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}}{\frac{n!}{3^n}}=\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n!}=\frac{n+1}{3}
  
  Iloraz kolejnych wyrazów jest > 1 dopiero dla n = 3, czyli:
  Ciąg NIE jest monotoniczny dla każdego "n", ale jest monotonicznie rosnący zaczynając od n = 3. Faktycznie, pierwsze wyrazy tego ciągu to:
  
  a1 = 1/3; a2 = 2/9; a3 = 6/27 = 2/9; a4 = 24/81 = 8/27; a5 = 120/243 = 40/81
  i dalej coraz więcej, ciąg dąży do + nieskończoności. Zauważ, że:
  
  a1 > a2 = a3 oraz a3 < a4 < a5 < ....
  =====================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv,
  a jeśli mieszkasz w Warszawie to zapraszam na korepetycje / konsultacje.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie