Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.11.2015 (06:35)

  Zadanie 19.
  a)
  Trójkąty podobne: ACL; ADK; AEJ; AFI; AGH
  (wszystkie mają jednakowe kąty, bo kąt BAM jest wspólny, a poziome szczeble są równoległe, więc pozostałe dwa kąty są także jednakowe jak w trójkącie ABM.
  -----------------------
  
  Do dalszej części zadania wprowadźmy, aby za dużo nie pisać, takie oznaczenia
  (dorysuj sobie proszę do rysunku, będzie łatwiej widać co jest czym)
  
  - odległość szczytu drabiny od górnego szczebla czyli długość odcinka |AB|
  oznaczmy jako "a"
  - odległości szczebli jako "b" (czyli |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = b )
  - odległość dolnego szczebla od podłoża (czyli |FG|) jako "c"
  - długości kolejnych szczebli jako L1, L2,...L5 (czyli L1 = |BM|; L2 = |CL|....
  - odległość |GH| jako L6
  
  NIE zakładamy, że a = b = c, ale może okazać się to konieczne.
  UWAGA! Specjalnie wydłużyłem rozwiązanie tego zadania, aby pokazać, że NIE jest ono jednoznacznie sformułowane. Na końcu pokazuję, że do rozwiązania punktu (c) zadania wymagana jest jednak równość a=b=c. Natomiast punkt (b) można wykazać zakładając jedynie b = c.
  
  Jeśli założymy od razu, że a = b = c to rozwiązanie będzie duuużo krótsze ! Jeśli potrzebujesz tego krótszego rozwiązania to zamieść proszę to zadanie ponownie.
  
  Zauważ, że potrzebne są jedynie: a, b, c, L1.
  Pozostałe L2, L3, ... L6 można obliczyć. Z podobieństwa trójkątów mamy:
  
  L2 / L1 = (a + b) / a ; więc L2 = L1 * (a + b) / a
  L3 / L1 = (a + 2b) / a ; więc L3 = L1 * (a + 2b) / a
  L4 / L1 = (a + 3b) / a ; więc L4 = L1 * (a + 3b) / a
  L5 / L1 = (a + 4b) / a ; więc L5 = L1 * (a + 4b) / a
  L6 / L1 = (a + 4b + c) / a ; więc L6 = L1 * (a + 4b + c) / a
  ----------------------
  
  b)
  Aby te trapezy były podobne stosunek długości ich ramion musi być równy stosunkowi ich górnych podstaw i równy stosunkowi ich dolnych podstaw. Przyjmując oznaczenia jak powyżej muszą być spełnione dwie równości:
  
  Górne podstawy:
  c / b = L5 / L4 czyli: c / b = [ L1 * (a + 4b) / a ] / [ L1 * (a + 3b) / a ]
  Skracamy "L1" oraz "a" i mamy:
  c / b = (a + 4b) / (a + 3b)
  
  Dolne podstawy:
  c / b = L6 / L5 czyli: c / b = [ L1 * (a + 4b + c) / a ] / [ L1 * (a + 4b) / a ]
  Skracamy "L1" oraz "a" i mamy:
  c / b = (a + 4b + c) / (a + 4b)
  
  Uwierz mi, że jeśli c = b * (a + 4b) / (a + 3b) to OBA równania są spełnione,
  czyli w ogólności MOŻLIWA jest sytuacja gdy trapezy FGHI i EFIJ są podobne.
  Dlatego zadanie NIE JEST poprawnie sformułowane.
  Aby wykazać, że te trapezy jednak nie są podobne MUSIMY przyjąć dodatkowe założenie, że któreś z a, b, c są równe. Sprawdźmy trzy możliwości:
  
  1) Zakładamy b = a. Podane wyżej proporcje przechodzą wtedy w:
  c / a = (a + 4a) / (a + 3a) = 5 / 4
  c / a = (a + 4a + c) / (a + 4a) = (5a + c) / 5a
  
  To NIE wystarcza, bo jeśli c = (5/4) * a to oba równania są spełnione.
  
  2) Zakładamy c = b. Podane wyżej proporcje przechodzą wtedy w:
  b / b = (a + 4b) / (a + 3b) = 1
  b / b = (a + 4b + b) / (a + 4b) = 1
  Teraz wreszcie uparte równania się poddają bo jedynym rozwiązaniem jest b = c = 0,
  co jest nonsensem z punktu widzenia budowy drabiny.
  
  3) Spróbujmy jeszcze założyć c = a. Mamy:
  a / b = (a + 4b) / (a + 3b)
  a / b = (a + 4b + a) / (a + 4b)
  Ten układ TEŻ ma rozwiązanie jeśli a = [pierwiastek(5) - 1] b
  
  Podsumowując:
  Aby punkt (b) zadania można było udowodnić MUSIMY przyjąć c = b,
  czyli że odległość szczebli drabiny jest równa odległości dolnego szczebla od ziemi.
  ----------------------
  
  c)
  Przepiszmy wzory na L2, L3,...L6 przy założeniu, że c = b
  
  L2 = L1 * (a + b) / a ; gdyby było b = a to L2 = 2 L1
  L3 = L1 * (a + 2b) / a ; gdyby było b = a to L3 = 3 L1
  L4 = L1 * (a + 3b) / a ; gdyby było b = a to L4 = 4 L1
  L5 = L1 * (a + 4b) / a ; gdyby było b = a to L5 = 5 L1
  L6 = L1 * (a + 5b) / a ; gdyby było b = a to L6 = 6 L1
  
  Trapez BCLM:
  zawiera boki o długości: b, L1 i L2.
  Stosunek długości podstaw: L2 / L1 = (a + b) / a
  Jeżeli przyjmiemy, że b = a to L2 / L1 = 2.
  Gdy popatrzymy na listę długości podstaw podaną wyżej to widać, że ten warunek
  spełniają podstawy L4 i L2 (czyli L4 / L2 = 2) oraz L6 i L3.
  
  Szukanymi trapezami byłyby więc: CEJL i DGHK
  (ale jedynie przy założeniu równych odległości a = b = c )
  
  Stosunki długości boku trapezu CEJL do boku trapezu BCLM wynosi 2, tyle samo co stosunek długości podstaw L4 / L2 = 4 / 2 = 2 oraz L2 / L1 = 2 / 1 = 2, trapezy są więc podobne.
  
  Stosunki długości boku trapezu DGHK do boku trapezu BCLM wynosi 3, tyle samo co stosunek długości podstaw L6 / L2 = 6 / 2 = 3 oraz L3 / L1 = 3 / 1 = 3, trapezy są więc podobne.
  
  Trapez BDKM:
  zawiera boki o długości: 2b, L1 i L3.
  Stosunek długości podstaw L3 / L1 = (a + 2b) / a
  Jeżeli przyjmiemy, że b = a to L3 / L1 = 3.
  Gdy popatrzymy na listę długości podstaw podaną wyżej to widać, że ten warunek
  spełniają podstawy L6 i L2 (czyli L6 / L2 = 3)
  
  Szukanymi trapezem byłby więc: CGHL
  (ale jedynie przy założeniu równych odległości a = b = c )
  Stosunki długości boku trapezu CGHL do boku trapezu BDKM wynosi 2, tyle samo co stosunek długości podstaw L6 / L3 = 6 / 3 = 2 oraz L2 / L1 = 2 / 1 = 2, trapezy są więc podobne.
  ----------------------
  
  To jest koniec zadania, ale zobaczmy jeszcze przypadek, gdy "b" jest różne od "a".
  W trapezie BCLM stosunek długości podstaw L2 / L1 = (a + b) / a.
  Może istnieją jakieś dwa inne trapezy spełniające ten warunek ?
  
  W każdym trapezie, który można znaleźć na rysunku, stosunek długości podstaw
  można zapisać jako:
  
  (a + N * b) / (a + K * b) gdzie N > K oraz K przyjmuje wartości od 1 do 4.
  
  Zachodzić musi więc równość:
  
  (a + N * b) / (a + K * b) = (a + b) / a
  
  Posprawdzałem to dla różnych N, K i wychodzi:
  
  Dla K = 1 mamy rozwiązanie dla N = 3 i a = b (to jest jedno z już otrzymanych)
  oraz N > 3 gdy a = b / (N - 2), czyli: N = 4 i a = b/2 lub N = 5 i a =b/3
  
  Dla K = 2 mamy rozwiązania N = 5 i a = b (to jest jedno z już otrzymanych)
  oraz dla N = 4 i a = 2b
  
  Dla K = 3 możliwe jest N = 5 i a = 3b
  
  Dla K = 4 brak rozwiązań.
  
  Jak widać JEDNOCZEŚNIE można znaleźć dwa trapezy podobne do BCLM
  jedynie w przypadku gdy a = b.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie