Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 15.11.2015 (15:15)

  [ czytaj ^ jako "do potęgi, np: e^(1/x) to "e do potęgi 1/x ]
  
  1.
  Dziedzina f(x) to D = R \ { 0 }
  Liczymy pochodną:
  
  f ' (x) = e^(1/x) + x * (-1 / x^2) * e^(1/x) = (1 - 1 / x ) * e^(1/x)
  
  Porównujemy f ' (x) do zera. Ponieważ e^(1/x) > 0 dla każdego x w dziedzinie f(x)
  to zostaje możliwość:
  
  1 - 1 / x = 0 ; stąd x = 1 jest możliwym ekstremum. Badamy znak tego wyrażenia:
  
  Dla 0 < x < 1 mamy 1 / x > 1 czyli f ' (x) jest ujemna na lewo od x = 1
  i dodatnia na prawo od tego punktu. W punkcie x = 1 mamy więc minimum lokalne
  f(1) = 1 * e^(1/1) = e <------------------ minimum lokalne.
  
  Badamy monotoniczność:
  Dla x < 0 zachodzi: 1 / x > 0 więc f ' (x) > 0
  Funkcja jest rosnąca w przedziale ( - oo; 0 )
  Dla przedziału (0; 1) sprawdziliśmy wyżej:
  Funkcja jest malejąca w przedziale ( 0; 1 )
  Gdy x > 1 to f ' (x) > 0
  Funkcja jest rosnąca w przedziale ( 1; +oo )
  =============================
  
  2.
  Dziedziną funkcji są liczby dodatnie z wyłączeniem x = 1, gdyż tam ln(x) = 0.
  D = (0; +oo) \ { 1 }
  
  Gdy mianownik dąży do zera to w punkcie x = 1
  funkcja ma asymptotę pionową
  
  Moim zdaniem f(x) nie ma innych asymptot.
  Wprawdzie jeśli założymy asymptotę ukośną lub poziomą jako y = ax + b to:
  
  a = lim f(x) / x = lim { [ (3x / ln(x)) ] / x } = lim [3 / ln(x) ] = 0
  ale wtedy:
  
  b = lim [ f(x) - a x ] = lim [ f(x) - 0 * x ] = lim f(x) = +oo
  
  co NIE daje informacji "a" i "b".
  Na teraz NIE umiem przedstawić Ci dowodu na brak innych asymptot poza pionową, muszę się douczyć :)
  =============================
  
  
  3.
  W punkcie (a) coś brakuje w wykładniku exp(...) po znaku "minus"
  ---------
  W punkcie (b)
  Dziedzina: pod logarytmem ma być liczba dodatnia czyli
  
  2^x - 4 > 0 ; stąd:
  2^x > 4 ; stąd
  x > 2
  czyli D = ( 2; +oo )
  
  Pochodna:
  Traktujemy f(x) jako funkcję złożoną f(g(x)) gdzie g(x) = 2^x - 4.
  Pochodna ln(g) to 1 / g
  Pochodna g(x) wymaga chwilę pracy. Zauważ, że e^[ ln(2) ] = 2.
  
  2^x = [ e ^ (ln 2) ] ^ x = e ^ (x * ln 2) ; więc:
  
  g ' (x) = (ln 2 ) * e ^ (x * ln 2) = ln(2) * 2^x
  
  Cała pochodna:
  
  f ' (x) = [ ln(2) * 2^x ] / [ 2^x - 4 ]
  =============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Nad tym brakiem ukośnych i poziomych asymptot w zadaniu (2) pomyślę.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie