Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 14.9.2015 (12:31)

  Zadanie 16.
  Obliczamy różnice kolejnych wyrazów ciągu.
  UWAGA: Zapis: a(n+1) oznacza "a z indeksem n+1 na dole" ]
  UWAGA: Znaczek ^ to "do potęgi", np. 2^3 = 8
  =======================
  a)
  
  a(n+1) - a_n = [ 4(n+1) - 5 ] - [ 4n - 5 ] = 4n - 4n + 4 - 5 + 5 = 4.
  a(n+1) - a_n > 0 co dowodzi, że ciąg jest rosnący.
  
  b(n+1) - b_n = [ -(3/4)(n+1) - 1/3 ] - [ -(3/4)n - 1/3 ] =
  = -(3/4)n + (3/4)n - 3/4 - 1/3 + 1/3 = - 3/4
  b(n+1) - b_n < 0 co dowodzi, że ciąg jest malejący.
  
  =======================
  
  b)
  
  a(n+1) - a(n) = [ -7 / (n+1) + 1 ] - [ -7 / n + 1 ] =
  = -7 / (n+1) + 7 / n + 1 - 1 = ; sprowadzamy do wspólnego mianownika
  = 7(-n + n + 1)[n(n+1)] = 7 / [n(n+1)]
  Ponieważ n > 0 to mianownik jest dodatni i cały ułamek też.
  a(n+1) - a_n > 0 co dowodzi, że ciąg jest rosnący.
  
  b(n+1) - b_n = [ (1/2)(1/(n+1)) + 2 ] - [ (1/2)(1/n) + 2 ] =
  = (1/2)(1/(n+1)) - (1/2)(1/n) + 2 - 2 = ; wspólny mianownik
  = (1/2) * (n - n - 1) / [n(n+1)] = - (1/2) / [n(n+1)]
  Ponieważ n > 0 to mianownik jest dodatni i cały ułamek UJEMNY (minus przed całością)
  b(n+1) - b_n < 0 co dowodzi, że ciąg jest malejący.
  
  =======================
  
  c)
  a(n+1) - a_n = [ (n+1)^2 + 3(n+1) - 10 ] - [ n^2 + 3n - 10 ] =
  = (n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 - 10) - (n^2 + 3n - 10)
  = n^2 - n^2 + 2n + 3n - 3n + 1 + 3 - 10 + 10 = 2n + 4.
  Ponieważ n> 0 więc 2n + 4 > 0.
  a(n+1) - a_n > 0 co dowodzi, że ciąg jest rosnący.
  
  b(n+1) - b_n = [ - 5(n+1)^2 + 10 ] - [ - 5n^2 + 10 ] =
  = (-5n^2 - 10n - 5 + 10) - (-5n^2 + 10) =
  = -5n^2 + 5n^2 -10n - 5 + 10 - 10 = -10n - 5 = - (10n + 5)
  Wyrażenie w nawiasie jest dodatnie, przed nawiasem jest minus więc:
  b(n+1) - b_n < 0 co dowodzi, że ciąg jest malejący.
  =======================
  
  d)
  a(n+1) - a_n = 5^(n+1+3) - 5^(n+3) = 5^(n+3) * 5 - 5^(n+3) = 4 * 5^(n+3)
  Ponieważ 5^(n+3) jest zawsze dodatnie to
  a(n+1) - a_n > 0 co dowodzi, że ciąg jest rosnący.
  
  b(n+1) - b_n = (2/3)^(n+1+1) - (2/3)^(n+1) =
  = (2/3)^(n+1) * (2/3) - (2/3)^(n+1) = (2/3)^(n+1) * (2/3 - 1) =
  = - (1/3) * (2/3)^(n+1)
  Ponieważ (2/3)^(n+1) jest zawsze dodatnie, a przed całością jest minus to:
  b(n+1) - b_n < 0 co dowodzi, że ciąg jest malejący.
  =======================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie