Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.6.2015 (08:05)

  Oba pliki przedstawiają tą samą funkcję:
  
  f(x)=x+2+\frac{3x-2}{(x-1)^2}
  
  Dziedzina: Mianownik ułamka nie może być zerem więc wykluczamy x = 1.
  D = R \ { 1 }
  
  Przy okazji prosta x = 1 jest asymptotą pionową funkcji.
  
  Badamy asymptoty poziome i ukośne. Zauważ, że dla dużych "x" ułamek dąży do zera i funkcja zachowuje się jak "x", czyli w nieskończoności granice funkcji są nieskończone, ale istnieje asymptota ukośna o wzorze y = ax + b. Znajdujemy "a" i "b"
  
  a=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} \left(1+\frac{2}{x}+\frac{3-2/x}{(x-1)^2} \right )=1
  
  b=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} (f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} \left(x+2+\frac{3x-2}{(x-1)^2}-x\right)=2
  
  Asymptota ukośna jest tylko jedna, zarówno w -oo jak i w +oo i ma wzór:
  y = x + 2
  
  Miejsca zerowe:
  Sprowadzamy równanie funkcji do wspólnego mianownika i porównujemy do zera licznik:
  
  (x + 2)(x - 1)^2 + 3x - 2 = 0
  
  Okazuje się, że lewa strona to po prostu x^3, czyli x^3 = 0.
  Jest jedno miejsce zerowe: x = 0 (należy do dziedziny).
  
  Pochodna:
  
  f'(x)=1 + \frac{3(x-1)^2-2(x-1)(3x-2)}{(x-1)^4} = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}
  
  Zauważ, jak zachowuje się f ' (x).
  Dla x z przedziału (-oo; 1) [ poza x = 0 ] licznik i mianownik są ujemne
  więc f ' (x) > 0
  Dla x z przedziału (1; 3) licznik jest ujemny, mianownik dodatni
  więc f ' (x) < 0
  Dla x z przedziału (3; +oo) licznik i mianownik są dodatnie
  więc f ' (x) > 0
  
  Przebieg zmienności funkcji:
  Zwróć uwagę, że dla wartości x bliskich x = 1 funkcja jest dodatnia,
  więc granice f(x) dla x --> 1 z obu stron wynoszą +oo. Wobec tego:
  
  Funkcja jest rosnąca od -oo do 0 w przedziale (-oo; 0)
  W x = 0 funkcja ma punkt przegięcia [ NIE ekstremum ! ]
  Funkcja jest rosnąca od 0 do +oo w przedziale (0; 1)
  Funkcja jest malejąca od +oo do f(3) w przedziale (1; 3)
  W x = 3 funkcja ma minimum równe f(3) = 27 / 4
  Funkcja jest rosnąca od f(3) do +oo w przedziale (3; +oo)
  
  Aby określić wklęsłość / wypukłość liczymy drugą pochodną:
  
  f''(x)= \frac{[x^2 + 2x(x-3)](x-1)^3-3(x-1)^2x^2(x-3)}{(x-1)^6}=\frac{6x}{(x-1)^4}
  
  Jak widać f ' ' (x) < 0 dla x < 0; f ' ' (x) > 0 dla x > 0
  oraz f ' ' (0) = 0 [ punkt przegięcia ]
  Nigdy nie wiem,
  czy funkcja jest wypukła czy wklęsła w zależności od znaku f ' ' (x),
  dobierz sobie, proszę.
  
  Wykres f(x) jest w załączniku (uwaga - skale na osiach są RÓŻNE ! )

  Załączniki

  • wykres.pdf (7 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie