Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.12.2014 (08:26)

  Masz po jednym przykładzie z każdego zadania.
  ===============================================
  
  1f) 1 / (x + 5) = x - 2
  
  Dziedzina: Wykluczamy x = -5 czyli D = R - { -5 }
  
  Przenosimy x - 2 na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika
  
  [ 1 - (x - 2)(x + 5) ] (x + 5) = 0
  
  Licznik ma być równy zero. Wymnażamy nawias, zmieniamy znaki:
  
  x^2 + 3x - 11 = 0
  
  Rozwiązania tego równania kwadratowego to
  x1 = [ - 3 - pierwiastek(53) ] / 2
  x2 = [ - 3 + pierwiastek(53) ] / 2
  
  Oba rozwiązania pasują do dziedziny
  =============================================
  
  2a) f(x) = (1-x) / 5 - (x - 1) / (2x)
  
  Dziedzina: Wykluczamy x = 0 czyli D = R - { 0 }
  
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika i wymnażamy nawias
  
  f(x) = [ 2x(1-x) - 5(x-1) ] / (10x) = (-2x^2 - 3x + 5) / (10x) > 0
  
  Sytuacja 1: Licznik i mianownik są dodatnie
  Mianownik jest dodatni dla x > 0.
  Licznik jest dodatni pomiędzy pierwiastkami równania -2x^2 - 3x + 5 = 0
  czyli x1 = -5/2 ; x2 = 1.
  Złożenie obu warunków dodatniości daje przedział (0; 1)
  
  Sytuacja 2: Licznik i mianownik są ujemne
  Mianownik jest ujemny dla x < 0.
  Licznik jest ujemny poza przedziałem <x1; x2>i
  czyli dla x należących do (-oo; -5/2) U (1; +oo)
  Złożenie obu warunków dodatniości daje przedział (-oo; -5/2)
  
  Suma obu sytuacji daje rozwiązanie:
  x należy do (-oo; - 5/2) U (0; 1)
  =============================================
  
  Zadanie 3 jest za mało czytelne.
  =============================================
  
  4b) log_(3 - 2x) 25 = 2
  [ Zapis logarytmu o podstawie "a" z "b" jest tutaj taki: log_a b ]
  
  Dziedzina: Podstawa logarytmu ma być dodatnia i różna od +1 czyli
  3 - 2x > 0 ; oraz
  3 - 2x <> 1 ; co daje
  D = (-oo; 1) U (1; 3/2)
  
  Z definicji logarytmu: jeżeli log_a b = c to a^c = b więc:
  
  (3 - 2x)^2 = 25 ; stąd:
  
  Sytuacja 1: 3 - 2x = 5 ; czyli x = -1. Pasuje, należy do dziedziny.
  Sytuacja 2: 3 - 2x = -5 ; czyli x = 4. Odpada, NIE należy do dziedziny.
  
  Rozwiązanie (jedyne) to x = - 1
  =============================================
  
  5b) log_3 (x^2 - 7) > 2
  Dziedzina: Liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli
  x^2 - 7 > 0 ; co daje:
  D = ( -oo; -pierwiastek(7) ) U ( pierwiastek(7) ; +oo )
  
  Podstawa logarytmu jest większa od 1 czyli ten logarytm jest funkcją rosnącą.
  Z definicji logarytmu: jeżeli log_a b = c to a^c = b więc:
  
  x^2 - 7 > 3^2 ; stąd
  x^2 > 16 ; czyli
  x należy do (- oo; - 4) U (4; +oo)
  
  Ponieważ 4 > pierwiastek(7) to całe rozwiązanie należy do dziedziny.
  =============================================
  
  6a) y = pierwiastek[ log_10 (6 - x) ]
  Dziedzina:
  Po pierwsze: liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli
  6 - x > 0 ; stąd: x należy do (-oo; 6)
  Po drugie: liczba pod pierwiastkiem ma być nieujemna czyli log >= 0, czyli
  6 - x >= 1 ; stąd: x należy do (-oo; 5 >
  Drugi warunek jest silniejszy czyli:
  
  D = ( - oo; 5 >
  
  Miejsce zerowe (jedyne): log_10 (6 - x) = 0 czyli
  6 - x = 1
  x = 5
  
  Przecięcie z osią OY: Wstawiamy x = 0.
  y = pierwiastek[ log_10 (6 - 0) ]
  y = pierwiastek( log_10 6) = około 0,8821
  =============================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie