Treść zadania
Autor: Deloper Dodano: 19.11.2014 (17:44)
Witam mam takie zadanie na matematykę :
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych :
proszę o rozwiązanie w punktach każdego przykładu żebym zrozumiała
z góry dziękuję
Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.
Najlepsze rozwiązanie
Rozwiązania
-
antekL1 20.11.2014 (08:35)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego f(x,y)
w punkcie (x0,y0) jest zerowanie się obu pochodnych cząstkowych
funkcji f po x i po y
Następnie sprawdzamy znak wyznacznika utworzonego z drugich pochodnych.
- Jeśli jest on dodatni to ekstremum istnieje
- Jeśli jest on ujemny to ekstremum NIE istnieje
Jeśli jest on zerowy to nie wiadomo, trzeba stosować inne metody.
Poniżej, jeśli nie używam LaTeX'a, to pochodną cząstkową funkcji f po x
zapisuję jako f '_x. Analogicznie pochodną po y zapisuję jako f '_y
Drugie pochodne cząstkowe to f ' 'xx, f ' 'xy, f ' '_yy
======================
(b)
Extremum nie istnieje gdyż f ' _x = 1; nigdy nie będzie zerem.
======================
(e)
f '_x = 6y - 3x^2 = 0
f '_y = 6x - 3y^2 = 0
Jednym z rozwiązań jest punkt (0;0)
Aby znaleźć inne rozwiązania piszemy powyższe równania w postaci jak niżej
przy założeniu, że x, y są różne od zera
[gdy x = 0 lub y = 0 to jako rozwiązanie dostajemy (0,0) ]
2y = x^2
2x = y^2
---------------- mnożymy stronami
4xy = (xy)^2 ; stąd
xy = 4 ; czyli
y = 4 / x ; wstawiamy to do pierwszego z równań
8 / x = x^2 ; czyli
8 = x^3
x = 2 i także y = 2
Drugim punktem "podejrzanym" o ekstremum jest punkt (2,2).
Liczymy drugie pochodne:
f ' '_xx = -6x
f ' '_yy = -6y
wyznacznik z drugich pochodnych:
W = \det\left [\begin{array} {cc} -6x & 6\\ 6 & -6y \end{array} \right ] = 36\,(xy-1)
Wyznacznik W jest ujemny dla punktu (0,0)
więc tam NIE MA ekstremum (jet punkt siodłowy)
Wyznacznik W jest dodatni dla punktu (2,2). Mamy ekstremum.
Sprawdzamy wtedy znak drugiej pochodnej po x.
Jeśli jest ona ujemna - mamy maksimum, jeśli dodatnia - minimum.
Tutaj f ' '_xx = - 6x = minus 12 dla x = 2 więc jest to maksimum.
W załączniku pkt_e.jpg jest przestrzenny rysunek f(x,y)
(tam widać maksimum i "siodło" tworzące się w punkcie (0,0)
a w załączniku kontur_e.jpg jej "mapka" 2D
=======================================
Jeszcze punkt ( j ),
pozostałe zamieść proszę oddzielnie, bo tego robi się za dużo.
(j)
To jest paraboloida, rysunki masz w załącznikach. Liczymy pierwsze pochodneL
f ' _x = 6x - 4y - 3 = 0
f ' _y = 6y - 4x -2 = 0
Ten układ równań po rozwiązaniu daje jeden punkt: (13 / 10; 6 / 5).
Liczymy drugie pochodne:
f ' '_xx = 6
f ' '_yy = 6
f ' '_xy = -4
Wyznacznik W = 6 * 6 - (-4)^2 = 12 > 0 niezależnie od x, y.
więc dla każdego punktu podejrzanego o ekstremum będzie ono istniało
i będzie to minimum, Nasz znaleziony punkt to minimum.
=======================================Załączniki
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie
Podobne zadania
Mam takie zadanie obliczyc Pb ostr.prawidl.trójkąt. gdzie krawędz wynosi 8
Przedmiot: Matematyka
/ Studia
|
1 rozwiązanie | autor: Konto usunięte 9.5.2010 (14:08) |
1 . Wykres funkcji przekształć w symertii względem punktu (0,0) a nastepnie
Przedmiot: Matematyka
/ Studia
|
2 rozwiązania | autor: syskaa17 18.5.2010 (18:58) |
Calka funkcji wymiernej
Przedmiot: Matematyka
/ Studia
|
1 rozwiązanie | autor: dominika9027 9.6.2010 (20:27) |
|
Zadanie z matematyki ! Podobieństwa figur !
Przedmiot: Matematyka
/ Studia
|
1 rozwiązanie | autor: Blondi9393 18.9.2010 (18:11) |
|
wyznacz ekstrema funkcji
f(x,y)=x2-2xy+2y3+4y2-3
Przedmiot: Matematyka
/ Studia
|
2 rozwiązania | autor: adulka 7.10.2010 (12:09) |
Podobne materiały
Przydatność 50% Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Przydatność 50% Diofantos - pierwszy matematyk...
Diofantos - z Aleksandrii, III wiek n.e. Był pierwszy matematyk, któy zajął się algebrą. Niewiele wiemy o jego życiu. Pewne szczegóły możemy poznać rozwiązując zadanie z Epifatium Diofanta zamieszczonego w antologii z XIV wieku mnicha Maksymusa Planudesa. Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant- a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek jego zdradzi ci ten głaz:...
Przydatność 50% Wzory na matematyke
Wzory Skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a - b)(a + b) Pole i obwód koła Pole koła Po = π R2 Obwód okręgu (koła) L = 2 π R R - promień okręgu Pole trójkąta P∆ = ½ Podstawa ∙ wysokość Pole prostokąta P = a ∙ b Pole kwadratu P = a2 Pole trapezu Pole równoległoboku P =...
Przydatność 75% Jan Śniadecki- słynny matematyk
Jan Śniadecki 1756 ? 183 Najwybitniejszy astronom polski przełomu XVIII i XIX wieku. Wpierw kształcił się na Uniwersytecie Krakowskim, a później udał się do Paryża gdzie studiował matematykę pod kierunkiem Laplace'a i d'Alamberta. Tam zaproponowano mu nawet stanowisko astronoma-obserwatora w obserwatorium w Madrycie....
Przydatność 80% Podatki i opłaty lokalne
Ustawa z dnia 12 stycznia 1991r. o podatkach i opłatach lokalnych (Dz. U. Nr 9 , poz. 31 z późn. zm.) określa obowiązek podatkowy w podatku od nieruchomości , podatku od środków transportowych, podatku od posiadania psów oraz opłatach lokalnych: targowej, miejscowej i administracyjnej. Samorząd terytorialny i jego organy działają w ramach...
0 odpowiada - 0 ogląda - 2 rozwiązań
2 0
Jeff8 20.11.2014 (11:46)
Rozwiązania b, f, i w załączniku
Załączniki
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie