Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 11.11.2014 (18:33)

  [ czytaj ^ jako "do potęgi" ]
  [ Wyjaśnienie logarytmu masz w podręczniku lub w sieci -
  to jest taka liczba, że jak podniesie się do niej podstawę logarytmu
  to wychodzi liczba logarytmowana ]
  
  Pierwsze zadanie:
  log[3]27 - log[3]1=
  Logarytm o podstawie 3 z 27 jest równy 3 ponieważ 3^3 = 27.
  (akurat tutaj niefortunnie i podstawa i wynik jest trójką)
  Logarytm o dowolnej (niezerowej) podstawie z jedynki zawsze jest zerem,
  ponieważ każda niezerowa liczba do potęgi 0 daje 1.
  Czyli:
  log[3]27 - log[3]1= 3 - 0 = 3
  
  log[6]1/36+log pierwiastek 3 stopnia z 10=
  Aby dostać 1/36 należy 6 podnieść do potęgi -2; więc pierwszy logarytm to -2.
  Pierwiastek stopnia 3 z 10 można zapisać jako 10^(1/3).
  Logarytmowanie potęgi oznacza wyjęcie tej potęgi przed logarytm
  log pierwiastek 3 stopnia z 10= (1/3) * log 10.
  log o podstawie 10 z 10 to oczywiście 1, więc
  log[6]1/36+log pierwiastek 3 stopnia z 10= -2 + 1/3 = - 5 / 3
  
  log[9](log[8](log[100]))=
  Najbardziej wewnętrzny logarytm to log o podstawie 10 ze 100 czyli 2,
  ponieważ 10^2 = 100.
  Kolejny logarytm to log[8] 2.
  Liczba 2 to pierwiastek sześcienny z 8 czyli 2 = 8^(1/3).
  Dlatego log[8] 2 = 1/3
  Najbardziej zewnętrzny logarytm to log[9] (1/3).
  Aby dostać 1/3 trzeba wziąć pierwiastek z 9 i jeszcze odwrotność,
  co się przekłada na ujemną potęgę. Czyli: 1/3 = 9^( - 1/2) więc
  log[9] (1/3) = - 1/2 i to jest rozwiązanie tego przykładu.
  
  log125+log4-log5=
  Dodawanie logarytmów oznacza logarytm z iloczynu,
  a odejmowanie logarytm z ilorazu. Wobec tego:
  log125+log4-log5= log (125 * 4 / 5) = log 100 = 2 (wyjaśnienie jak wyżej)
  
  log[2]96=
  Z tego nie wyjdzie całkowita liczba bo 96 nie jest potęgą dwójki.
  Można co najwyżej zapisać 96 = 32 * 3 i wtedy:
  log[2]96= log[2] 32 + log[2] 3 = 5 + log[2] 3
  gdyż 2^5 = 23.
  =========================
  
  Drugie zadanie:
  Wykaż że dowolnym x i y liczby rzeczywiste prawdziwa jest równość:
  
  1) log xkwadrat y - log xy kwadrat = logx-logy
  Różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu i można ten przykład zapisać tak:
  
  log(x^2 y) - log(x y^2) = log [ (x^2 y) / (x y^2) ] = log (x / y) = log x - log y
  
  (końcowe przekształcenie to zamiana logarytmu ilorazu na różnicę logarytmów)
  Oczywiści x, y MUSZĄ być dodatnie, aby logarytm miał sens.
  =========================
  
  2) log xkwadrat y kwadrat = 2 logx+2log y
  
  Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów i można ten przykład zapisać jako:
  
  log (x^2 y^2) = log(x^2) + log (y^2) = log (x * x) + log (y * y) =
  log x + log x + log y + log y = 2 log x + 2 log y.
  
  Przy okazji widzisz, dlaczego przy logarytmowaniu potęgi można wyciągnąć
  potęgę przed logarytm, przynajmniej dla naturalnych potęg.
  Ponieważ x do potęgi n oznacza n-krotne mnożenie:
  x^n = x * x * x *.... * x <-- iloczyn "n" x-ów to:
  log(x^n) = log( x * x * x *.... * x) = log x + log x + ... + log x = n * log x.
  =========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie