Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.11.2014 (16:26)

  3a)
  Ciąg jest malejący i ograniczony,
  gryż ponieważ 1/(2n+3) > 0 to każdy wyraz ciągu a(n) > 5.
  Dowód, że ciąg jest malejący: Obliczamy różnicę a(n+1) - a(n)
  
  a_{n+1}-a_n=5 + \frac{1}{2(n+1)+3}-5-\frac{1}{2n+3}=
  
  =\frac{2n+3-2n-5}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{-2}{(2n+5)(2n+3)}
  
  Ułamek na końcu powyższych przekształceń jest ujemny dla każdego n > 0,
  więc różnica kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna, czyli ciąg jest malejący.
  ========================
  
  3b)
  Ciąg jest rosnący (dowód poniżej) i ograniczony gdyż kosinus jest < 1.
  Obliczamy różnicę a(n+1) - a(n) korzystając ze wzoru na różnicę kosinusów.
  
  a_{n+1}-a_n=\cos\frac{1}{n+1}-\cos\frac{1}{n}=
  
  =-2\cos\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n} \right )\sin\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} \right )=
  
  =-2\cos\frac{2n+1)}{n(n+1)}\sin\frac{-1}{n(n+1)}= 2\cos\frac{2+1/n}{n+1}\sin\frac{1}{n(n+1)}
  
  W powyższym wyrażeniu gdy n --> oo argument kosinusa dąży do zera więc kosinus dąży do 1, natomiast argument sinusa jest zawsze dodatni (i też dąży do zera) czyli różnica kolejnych wyrazów ciągu jest zawsze dodatnia więc ciąg jest rosnący.
  ========================
  
  3c)
  Przekształcamy wyrażenie z zadania jak niżej.
  Dla dużych 'n' pierwiastek rozwijamy w szereg wokół jedynki w/g wzoru:
  dla małych x pierwiastek(1 + x) = w przybliżeniu 1 + x/2 - x^2/8 + ...
  
  n - \sqrt{n^2 + n} = n - n\sqrt{1+1/n}\,\approx\, n-n - \frac{n}{2n}+\frac{n}{8n^2}-...\rightarrow -\frac{1}{2}
  
  Ciąg ma więc granicę równą -1/2 jest więc ograniczony
  Tak samo, rozwijając pierwiastek w szereg, obliczymy różnicę a(n+1) - a(n).
  Już "na oko" powinno wyjść, że ciąg jest malejący bo pierwiastek
  ze wzrostem 'n' zaczyna coraz bardziej różnić się od n, ale zobaczmy:
  
  a_{n+1}-a_n\,\approx\,\left(\frac{-1}{2} +\frac{1}{8(n+1)}\right )-\left(\frac{-1}{2} +\frac{1}{8n}\right) =\frac{-1}{8n(n+1)}
  
  Dla dużych 'n' różnica kolejnych wyrazów jest ujemna, czyli faktycznie,
  ciąg jest malejący.
  ========================
  
  3d)
  Ponownie skorzystamy z rozwinięcia pierwiastka w szereg jak w przykładzie (c).
  Dla dużych 'n' wyraz a(n) tego ciągu zachowuje się jak funkcja f(n) = 4n.
  
  a_n=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}-2n}\,\approx\,\frac{n}{2n\left(1+ \right \frac{1}{8n})-2n}=4n
  
  Ciąg jest więc rosnący i NIEograniczony (dąży do nieskończoności)
  ========================
  
  3e)
  Licznik to suma kolejnych liczb całkowitych równa n(n+1)/2.
  Dzielimy licznik i mianownik przez kwadrat n i dostajemy:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1/2+1/(2n)}{3/n^2-2}=-\frac{1}{4}
  
  W nieskończoności ułamki 1/(2n) i 2/n^2 zbiegają do zera, ciąg ma więc granicę -1/4
  czyli jest ograniczony. Monotoniczność pokażemy obliczając a(n+1) - a(n).
  
  a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\frac{(n+1)(n+2)}{3-2(n+1)^2}-\frac{1}{2}\frac{n(n+1)}{3-2n^2}=\frac{(n+1)(n+3)}{(2n^2-3)(2n^2+2n-1)}
  
  Dla n > 2 licznik i mianownik ułamka powyżej są dodatnie więc różnica kolejnych wyrazów
  jest dodatnia czyli ciąg jestrosnący
  ========================
  
  Proszę zgłoś drugą połowę zadania oddzielnie, bo ten tekst staje się za długi.
  Uwaga co do ciągów z pierwiastkami:
  Jeśli nie wolno stosować rozwinięcia w szereg to metoda jest taka,
  że mnoży się i dzieli prze wyrażenie jak we wzorze, tylko ze znakiem plus,
  na przykład:
  
  n-\sqrt{n^2+n}=\frac{\left(n-\sqrt{n^2+n}\right)\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)}{n+\sqrt{n^2+n}}=\frac{-n}{n+\sqrt{n^2+n}}
  
  Z tej formy już łatwiej znaleźć i granicę (-1/2, dzielimy licznik i mianownik przez n)
  jak też różnicę kolejnych wyrazów, ale i tak trzeba się potwornie naliczyć...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie