Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.10.2014 (11:56)

  a)
  Warunek: x jest różny od zera aby istniało 1/x
  czyli rozwiązanie to:
  
  x \in R \,\,\backslash \,\,\{0\}
  
  bo poza tym równość jest tożsamością.
  Dowód: Wiemy, że ctg(x) = 1 / tg(x). Weźmy ctg z obu stron równości.
  Po prawej stronie jest:
  P = ctg [ arcctg (1/x) ] = 1/x
  Po lewej stronie jest:
  L = ctg [ arctg(x) ] = 1 / tg [ arctg(x) ] = 1/x
  więc P = L c.b.d.o.
  =======================
  
  b)
  Sprawdźmy najpierw dziedziny. Arctg(x) ma dziedzinę = R,w porządku.
  Arcsin(...) ma dziedzinę < -1; 1 > czyli musi zachodzić:
  
  -1 <= 2x / (1 + x^2) <= 1 ; stąd dwie nierówności:
  
  (-1) (1 + x^2) <= 2x ; czyli 1 + 2x + x^2 >= 0 ; czyli (x + 1)^2 >=0
  czyli zawsze
  
  oraz:
  2x <= 1 + x^2 ; czyli 1 + 2x + x^2 >= 0 ; czyli (x + 1)^2 >=0
  czyli też zawsze.
  
  Dziedziną lewej strony jest cały zbiór R.
  
  Z początku myślałem, że to też tożsamość, ale nie - dla x = 0 lewa strona = 0.
  Zrobiłem wykres (patrz załącznik, na nim:
  - czerwone = 2arctg(x)
  - zielone = arcsin [ 2x / (1 + x^2) ]
  - niebieskie = samo 2x / (1 + x^2) ( ekstrema tej funkcji są w -1 i 1).
  Czyli od -1 do 1 obie składowe sumy po lewej stronie są jednakowe
  a poza tym sumują się - pewnie do "pi". Trzeba to udowodnić.
  Piszę tak, jak myślę aktualnie, oczywiście nie przepisuj tych komentarzy :)
  
  To, że wykres arcsin(...) "odbija się" od poziomej linii dla x = 1 lub -1 to jasne,
  bo funkcja pod arcusem ma wtedy maksimum = 1 lub minimum = -1.
  Poza tym wszystkie funkcje: arctg, arcsin, i argument arcsin są "antysymetryczne"
  czyli f(-x) = -f(x) [ to widać na wykresach ].
  Wobec tego ograniczamy poszukiwania tożsamości dla x > 0,
  jeśli się uda, to NA PEWNO nie jest ona prawdziwa dla x < 0.
  
  Zobaczmy, co to jest "2 arctg(x)" - dlaczego jest "2" ??? Mamy wzór:
  
  \sin\alpha = \frac{\mbox{tg}\alpha}{1+\mbox{tg}^2\alpha}\qquad\mbox{oraz}\qquad\cos\alpha = \frac{1}{1+\mbox{tg}^2\alpha}
  
  skąd wynika, że:
  
  \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{\mbox{tg}\alpha}{\sqrt{1+\mbox{tg}^2\alpha}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\mbox{tg}^2\alpha}}= \frac{2\mbox{tg}\,\alpha}{1+\mbox{tg}^2\alpha}
  
  Widzisz, że podstawiając wyżej x = tg(alfa) dostajemy wyrażenie pod arcsin(...)
  z zadania, czyli cały ten arcsin to 2 * alfa.
  
  Podobnie 2 arctg(x) = 2 * alfa.
  
  No dobrze, 2 * arctg x = arcsin (...) ALE: gdzie tu "pi ??
  
  TUTAJ! tkwi haczyk. Bo jeśli napiszę:
  
  sin(2*alfa) = coś dodatniego, powiedzmy "z"
  to ponieważ sinus jest dodatni w I i w II ćwiartce to mamy 2 rozwiązania:
  
  2 * alfa = arcsin(z) [ obowiązuje w I ćwiartce ]
  lub:
  2 * alfa = PI - arcsin(z) [ obowiązuje w II ćwiartce ]
  
  (to drugie, na "ludzki" język to: sin(jakiegoś_kąta) = sin(180 - ten_kąt),
  znane Ci ?? ze szkoły)
  
  Tymczasem pierwsza część wyrażenia z zadania
  [przypominam podstawienie: x = tg(alfa) ]
  to po prostu 2 * alfa.
  
  Po lewej stronie mamy więc sumę:
  
  dopóki 2*alfa < pi /2 to suma = 2*alfa + 2*alfa
  
  lub
  
  gdy 2 * alfa jest w drugiej ćwiartce to
  suma = 2*alfa + PI - 2*alfa = PI. I to trzeba było udowodnić.
  
  Minimalna wartość 2 * alfa dla drugiej ćwiartki to pi/2, wtedy alfa >pi/4
  czyli nasze x, czyli tg(alfa) jest > 1. Mamy odpowiedź:
  
  x \in \,< 1\,;\, +\infty)
  
  +\infty miało być, coś ten LaTeX tu nie działa...
  
  x należy do < 1; +oo )
  
  =====================
  
  Masz rozumowanie, myślę, że poprawne, jak wynika z wykresu,
  spróbuj zapisać to tak, jak kazano na wykładzie / ćwiczeniach.
  Jak widzisz nie jestem matematykiem, nie znam się na tych znaczkach,
  po prostu próbuję logicznie myśleć... A program "Maxima" pomaga wykresami.

  Załączniki

  • wykres.pdf (7 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 18.10.2014 (12:07)

    W razie pytań pisz do mnie na priv