Treść zadania

Rozwiązania

• 

  5 0

  antekL1 13.10.2014 (23:13)

  Sytuacja jest taka:
  Belka została podzielona na dwa fragmenty p masach 40 i 80 kg.
  "P" to punkt podparcia, "Z" - miejsce gdzie stoi zawodnik.
  
  ======Z==========P==================================
  
  Zauważ, że zawodnik MUSI stać na krótszej części belki
  aby równowaga w ogóle mogła zaistnieć.
  Oznaczamy odległość |ZP| przez "x".
  Długość krótszej części beki to L1 = 1m; dłuższej części to L2 = 2 m.
  Masa krótszej części beli to m1 = 40 kg; dłuższej to m2 = 80 kg.
  
  Zauważ, że jeżeli belka jest jednorodna, to momenty sił działające na punkt P
  ze strony obu części belki są takie, jakby ciężary obu części podwieszono
  w połowie długości każdej z części, czyli
  
  od krótszej części moment M1 = (1/2) * m1 * g * L1
  od dłuższej części moment M2 = (1/2) * m2 * g * L2
  
  Dodatkowo moment siły od zawodnika to M = m * g * x.
  
  Równowaga zachodzi, gdy:
  
  M1 + M = M2 ; czyli
  
  (1/2) * m1 * g * L1 + m * g * x = (1/2) * m2 * g * L2 ; stąd, po skróceniu "g"
  
  x = (1/2) * (m2 * L2 - m1 * L1) / m
  
  Wstawiamy dane:
  
  x = (1/2) * (80 * 2 - 40 * 1) / 60 = 1 m
  
  Punkt P powinien znajdować się w odległości 1 m od punktu podparcia,
  po krótszej stronie belki.
  ======================
  
  Dyskusja rozwiązania (NIE należy do rozwiązania, ale możesz ją przeczytać :)
  Zapiszmy masę beli przez mb, długość belki przez L,
  oraz oznaczmy przez "k" ułamek (tutaj: k = 1/3) jaki stanowi krótsza część.
  Wtedy:
  
  m1 = k * mb oraz L1 = k * L
  m2 = (1 - k) * mb oraz L2 = (1 - k) * L
  
  Wstawiamy to do równania na "x"
  
  x = (1/2) * ( (1-k)^2 * mb * L - k^2 * mb * L) / m = (mb * L) / (2 m) * (1 - 2k)
  
  Widzimy, że przy oznaczeniach jak na początkowym rysunku
  aby otrzymać dodatnie "x" kusi zachodzić k < 1 / 2 - co jest oczywiste,
  jeśli k = 1 / 2 to belka podparta w środku sama się utrzyma.
  
  Natomiast NIE MA górnego ograniczenia na wartość "x", zależy ona
  jedynie od wielkości mas mb i m. Zauważ, że gdy m = 80 oraz mb = 120
  oraz przyjmiemy największe możliwe "x" równe k * L to dostajemy:
  
  k * L = [ 120 / (2 * 80) * L ] * (1 - 2k) ; stąd wynika k = 3 / 10
  
  Jeżeli belka będzie podparta bliżej niż 3/10 od jednego z końców
  to NIE istnieje taka pozycja zawodnika na belce aby mogła ona być w równowadze. Zawodnik musiałby wisieć na pręcie poza końcem belki.
  
  Dla cięższych belek i lekkiego zawodnika "krytyczny" punkt podparcia
  przesuwa się do środka belki (czyli k --> 1/2), co jest naturalne,
  a dla lekkich belek i ciężkich zawodników k --> 0, co też jest jasne;
  ciężki zawodnik może zrównoważyć wystającą lekką belkę,
  nawet gdy punkt podparcia jest blisko końca belki.
  
  Nasze rozwiązanie wygląda, że ma sens...
  
  ======================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie