Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 13.10.2014 (01:29)

  We wszystkich przypadkach sprowadzamy potęgowaną liczbę
  do postaci wykładniczej, a następnie mnożymy jej argument
  przez wykładnik, a wartość absolutną podnosimy do odpowiedniej potęgi.
  
  1)
  Liczbę potęgowaną można zapisać jako:
  
  2\sqrt{3}-2i = 4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i \right )
  
  czyli jej moduł wynosi 4, a argument minus pi / 6.
  Podnoszenie do potęgi 30 daje moduł wyniku równy 4^(30)
  i argument wyniku równy (pi / 6) * 30 = 5 pi.
  Argument 5 pi oznacza to samo co argument równy 1 pi [ czyli liczbę -1 ]
  w rezultacie dostajemy:
  
  \left(2\sqrt{3}-2i \right )^{30} = 4^{30}\,e^{\pi i}=4^{30}\cdot (-1) = -1152921504606846976
  
  ====================
  
  2.
  Rozumujemy analogicznie jak poprzednio:
  
  \left(1-i\sqrt{3} \right )^4=\left[2\cdot\left(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}\right ) \right ]^4=\left[2e^{-\pi i/3} \right ]^4=2^4e^{-4\pi i/3} =
  
  i dalej, po dodaniu 2 pi do argumentu mamy:
  
  =16e^{2\pi i/3} = -8+8\sqrt{3}\,i
  ====================
  
  3.
  Licznik i mianownik PRZED podniesieniem do potęgi 6 zapisujemy jako:
  
  L=\sqrt{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\,i \right )=\sqrt{2}\,e^{-\pi i /4} \qquad\mbox{;}\qquad M = 2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right )=2e^{\pi i/6}
  
  Pamiętamy o regle odejmowania wykładników przy dzieleniu,
  czyli argumentem L / M jest -pi / 4 - pi / 6 = - (5/12) pi i dostajemy,
  pamiętając, że 6 * (-5/12) pi = - 5/2 pi czyli to samo co - (1/2) pi
  
  \left[\frac{1-i}{\sqrt{3}+i} \right ]^6 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^6\cdot e^{-5\pi i/2} = -\frac{1}{8}\,i
  
  ====================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie