Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.10.2014 (08:01)

  Miao być na wczoraj ale może jeszcze dziś się przyda...
  
  Zad. 5.
  Oznaczmy przez "a" długość krawędzi sześcianu, przez "d" długość jego przekątnej.
  Na lekcji był pewnie związek:
  
  d = a\sqrt{3}
  
  (jeśli nie było, to dowód jest niżej)
  
  Z zadania wiemy, że:
  
  a = d - 2
  
  Dostajemy równanie:
  
  d = (d - 2)\sqrt{3}
  
  Obliczamy "d"
  
  2\sqrt{3} = d\,(\sqrt{3} - 1)
  
  d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\cdot 3 + 2\sqrt{3}}{3-1}=3+\sqrt{3}
  
  ================
  Dowód na "d = a * pierwiastek(3)"
  Narysuj sześcian, jego przekątną i przekątną podstawy z tego samego wierzchołka.
  Te przekątne i "pionowy" bok sześcianu tworzą trójkąt prostokątny
  (przekątna sześcianu "d" jest przeciwprostokątną).
  Przekątna podstawy (kwadratu o boku "a") ma długość:
  a * pierwiastek(2)
  Z tw. Pitagorasa dostajemy:
  
  d = \sqrt{\left(a\sqrt{2}\right)^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}
  
  ==============================
  
  
  Zad. 6.
  Patrz rysunek z załącznika.
  On jest wprawdzie do nieco innego zadania, ale tu też się przyda.
  
  Oznaczmy:
  przez "a" długość krawędzi podstawy, przez "r" - promień okręgu wpisanego.
  Wysokość podstawy (trójkąta równobocznego) to:
  
  |CE| = a * pierwiastek(3) / 2
  
  Promień okręgu wpisanego r = |OE| = |CE| / 3
  gdyż w trójkącie równobocznym wysokość jest też tego środkową.
  Wobec tego:
  
  r = a * pierwiastek(3) / 6
  
  Znamy "r" (równe 2 cm) obliczamy "a"
  
  a = \frac{6r}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot 2}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}
  
  Liczymy wysokość ostrosłupa czyli |OD|
  Zauważ, że trójkąt OCD jest prostokątny.
  Przeciwprostokątną CD znamy - to krawędź boczna, 2 * pierwiastek(7).
  |OC| znamy - to 2/3 z |CE| czyli
  
  |OC| = (2/3) * a * pierwiastek(3) / 2 = a * pierwiastek(3) / 3
  
  Podstawiamy "a" obliczone wyżej:
  
  |OC| = 4 * pierwiastek(3) * pierwiastek(3) / 3 = 4
  
  Z tw. Pitagorasa:
  
  |OD| = \sqrt{|CD|^2 - |OC|^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{7} \right )^2-4^2}=\sqrt{28-16}=2\sqrt{3}
  
  Mamy wysokość ostrosłupa. Jeszcze tg kąta. Chodzi o kąt ODE.
  
  tg(kąta ODE) = |OE| / |OD|.
  
  Znamy oba odcinki. |OE| = r = 2; |OD| policzyliśmy powyżej. Więc:
  
  tg(kąta ODE) = 2 / [ 2 * pierwiastek(3) ] = pierwiastek(3) / 3
  
  Takiemu tangensowi odpowiada kąt 30 stopni.
  
  ==============================

  Załączniki

  • ostroslup.pdf (14 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie